Gruppe mit Ordnung 22, semidirektes Produkt

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Lyla93 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe mit Ordnung 22, semidirektes Produkt
Meine Frage:
Hallo allerseits! :-)
Ich habe ein Problem mit folgendem "Aufgabentyp":
"Welche Eigenschaften haben Gruppen der Ordnung |G|=22"?

Wir untersuchen meist folgende Eigenschaften:einfach, abelsch, Isomorphietypen. Hätte die Gruppe nur normale Sylowgruppen, dann wüsste ich wie das ganze läuft (nicht einfach, da Normalteiler. Dann die Darstellung als direktes Produkt und daraus folgt Gruppe ist abelsch. Isomoprhietypen dann über die Ordnungen der Gruppen oder den Struktursatz). Bei dieser Aufgabe läuft das aber nicht so! Hier mal meine bisherigen Ideen:

Meine Ideen:
|G|=22=2*11, also gibt es 11-Sylowgruppen und 2-Sylowgruppen . Wenn man die Anzahl der Sylowgruppen untersucht kommt man darauf, dass es nur eine 11-Sylowgruppe geben kann, allerdings entweder eine oder 11 2-Sylowgruppen.
Hier nun schon meine erste Frage: Kann ich über die Elemente die G hat (22) eine Aussage darüber machen, ob es eine oder elf 2-Sylowgruppen gibt? (z.B.: Wenn ich eine 11-Sylowgruppe der Ordnung 11 habe, sind 11 Elemente schon weg (mit dem neutralen Element, das aber in jeder Gruppe ist). D.h. ich habe noch 22-11 Elemente für die 2-Sylowgruppe, in der 2-Sylowgruppe sind 2 Elemente drin. Nehme ich von den 22-11+1 (neutrales) = 12 dann die mögliche Anzahl der 2-Sylowgruppen, komme ich höchstens auf 6. Also kann es keine elf 2-Sylowgruppen geben und damit auch nur eine 2-Sylowgruppe. Ich habe das noch nie irgendwo so gelesen deswegen glaube ich, es stimmt nicht Big Laugh Aber wo liegt mein Denkfehler dabei?

Weiter zur Isomorphie, hier hapert es auch: Falls es nur eine 2-Sylowgruppe gibt, kann man das direkte Produkt zur Isomorphie von G wählen.
Wenn nicht, dann gilt ja: ist Normalteiler von G, eines der elf ist eine Untergruppe von G. Der Schnitt ist das neutrale, da sie zu unterschiedlichen Primzahlen p-Gruppen sind. Damit forme ich das semidirekte Produkt:
G ist isomorph zu (semidirekt) also gilt (semidirekt) (darf ich das semidirekte Produkt nur bilden, weil G=PA mit dem inneren semidirekten Produkt?). Soweit so gut. Jetzt habe ich noch den zugehörigen Homomorphismus: PHI:->Aut(). Jetzt zu meiner nächsten Frage: Kann ich nun irgendwelche Aussagen treffen? Ich weiß, dass dieses Produkt zum direkten wird, wenn wir als Automorphismus den trivialen haben. Muss ich dann jetzt z.B. Automorphismen finden, die nicht trivial sind? Wie? Und irgendwo habe ich gelesen, dass wenn Aut() das isomorph zu ist, also allgemein Aut() ist isomorph zu . Warum gilt das?



Vielen Dank schon mal für jede Hilfe!!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du schon von pq-Gruppen gehört ? ( http://matheplanet.com/default3.html?cal...ww.google.de%2F )
Lyla93 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Das heißt also, es reicht quasi wenn ich mir für eine pq-Gruppe merke:
p=q: abelsche Isomorphietypen Z_p^2, ZpxZp
p<q, aber p teilt nicht q-1: isomorphietypen Zpq (abelsch)
p<q, aber p teilt q-1: Isomorphietypen Zpq (abelsch).

Aber wenn ich jetzt z.B. |G|=68=2^2 *17 habe... Dann habe ich ja keine Gruppe der Ordnung pq mehr, sondern mein p wäre ja hier 4, also keine Primzahl.... Wie ist es dann da?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nur noch, dass -Gruppen auflösbar sind (Satz von Burnside).
Meine Bücher über Gruppentheorie haben die Mäuse gefressen, ich hoffe, es hat sie schlauer gemacht. Augenzwinkern

pq-Gruppen sind nicht immer abelsch. Das kleinste Gegenbeispiel ist die mit Ordnung 6. Das steht in dem Artikel, den ich dir zu lesen empfehle. Lehrer
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