Grenzwerte ermitteln

30.08.2017, 14:46

Cadiria

Grenzwerte ermitteln

Aktuell habe ich Probleme damit, den Grenzwert der folgenden Aufgabe zu berechnen

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n(ln(n) - ln(n+3)) \end{eqnarray*}$

Wenn ich es einfach so einsetzen würde, würde innerhalb der Klammer $\begin{eqnarray*} \infty - \infty \end{eqnarray*}$ herauskommen, was als unentscheidbar gilt. Wenn ich die Klammer ausmultipliziere und dann alles mit $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ rechne, komme ich zum Schluss auf das Ergebnis, dass sie bestimmt-divergent ist. Da es aber um konvergente Folgen in der Aufgabe gehen soll, kann das nicht sein. Außerdem komme ich nicht darauf, wie ich den Hinweis zu der Aufgabe einsetzen soll.

Man soll zur Lösung dieser Aufgabe folgendes benutzen

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (1 + \frac {x}{n})^{n} = e^{x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich wüsste, wie das zusammenhängt, könnte ich vielleicht etwas damit anfangen.

30.08.2017, 15:03

Matt Eagle

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RE: Grenzwerte ermitteln
Beachte die Rechengesetze für den Logarithmus.
Insbesondere gilt:

$\begin{eqnarray*} \ln\left(\frac ab\right)=\ln(a)-\ln(b) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \ln(a^b)=b\cdot\ln(a). \end{eqnarray*}$

Damit kannst Du dann zielführend umformen.

30.08.2017, 15:03

HAL 9000

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a) Es ist $\begin{align*} \ln(n)-\ln(n+3) = -(\ln(n+3)-\ln(n)) = -\ln\left(\frac{n+3}{n}\right) = -\ln\left(1+\frac{3}{n}\right) \end{align*}$

b) Laut Logarithmenregel ist $\begin{align*} \ln(y^n) = n\ln(y) \end{align*}$ .

Welches $\begin{align*} y \end{align*}$ könnte uns da hier einfallen, bei Einbeziehung des von dir genannten Tipps?

30.08.2017, 15:49

Cadiria

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Vielen Dank, jetzt komme ich auf einen Grenzwert von -1. Und habe den Zusammenhang jetzt verstanden.

30.08.2017, 16:02

RipHarambe

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Ich komme auf -3 Big Laugh

30.08.2017, 16:05

Cadiria

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Ja, ich jetzt auch, habe es mir nochmal genauer angesehen.

30.08.2017, 17:11

Cadiria

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Um nicht ein neues Thema aufzumachen, schreibe ich gleich hier weiter. Jetzt habe ich eine Aufgabe mit einem Bruch und Wurzeln, bei dem ich ein Brett vor dem Kopf habe.

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac {\sqrt{k+1}}{\sqrt{k+2} - \sqrt{2k-3}} \end{eqnarray*}$

Ich habe die Wurzeln im Nenner gemäß der Rechengesetze in Klammern umgewandelt und dann die 3. binomische Formel angewandt. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob dieser Schritt sinnvoll war.

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac {\sqrt{k+1}}{(k+2)^{\frac {1}{2}} - (2k-3)^{\frac {1}{2}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac {\sqrt{k+1}}{[(k+2)^{\frac {1}{4}} - (2k-3)^{\frac {1}{4}}] * [(k+2)^{\frac {1}{4}} + (2k-3)^{\frac {1}{4}}]} \end{eqnarray*}$

Das hat mir nicht geholfen, die Wurzeln aufzulösen, daher bin ich mir unsicher. Außerdem bin ich an der Stelle überfragt, wie es weitergeht. Eine Idee, die mir gekommen ist, ist das Ausklammern, aber das bringt mich vermutlich nicht weiter. Vielleicht hat jemand von euch eine Idee.

30.08.2017, 17:22

Gast300817

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Im Zähler fehlt bei dir der Erweiterungsfaktor.

IM Nenner bleibt übrig: -k+5

Im Zähler ausmultiplizieren, dann k ausklammern und Bruch mit k kürzen.

Tipp:
Lass die Wurzelschreibweise stehen!

30.08.2017, 17:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von Cadiria
und dann die 3. binomische Formel angewandt. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob dieser Schritt sinnvoll war.

Nicht wirklich. $\begin{align*} \sqrt{k} \end{align*}$ als dominierenden Faktor ausklammern tut es auch.

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