Aus Positiv Definit folgt Linear Unabhängig

31.08.2017, 13:31

Mesut95

Aus Positiv Definit folgt Linear Unabhängig

Meine Frage:
Hi, Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen ?

Meine Ideen:
Wenn eine Matrix Positiv Definit ist folgt daraus das alle Eigenwerte dieser Matrix >0 sind und das bedeutet wieder das die Matrix Regulär ist aber weiter habe ich keine Idee

31.08.2017, 15:28

HAL 9000

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Sind $\begin{align*} b_1,\ldots,b_{\ell} \end{align*}$ reelle Zahlen mit
$\begin{align*} \sum_{j=1}^{\ell} b_j \mathbf{d}_j = 0\qquad (*) \end{align*}$ ,
so muss für lineare Unabhängigkeit $\begin{align*} b_1=\ldots=b_{\ell}=0 \end{align*}$ nachgewiesen werden.

Zum Beweis ein Tipp: Multipliziere (*) doch einfach mal "von links" $\begin{align*} \mathbf{d}_i^T\cdot A \end{align*}$ und nutze dann die Gleichung in der Voraussetzung sowie die positive Definitheit von $\begin{align*} A \end{align*}$ .

31.08.2017, 17:13

Mesut95

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Hi Hal9000 Wink

Danke für den Tipp:

Ich soll also

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{l} b_j*d_j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d_i *A \end{eqnarray*}$ Multiplizieren.

= $\begin{eqnarray*} ( b_1*d_1+...+b_l*d_l) * Ad_i \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} Ad_i *b_1*d_1+...+ Ad_i*b_l*d_l \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} b_1* (Ad_i *d_1)+...+ b_l(Ad_i*d_l) \end{eqnarray*}$

Somit sind alle b =0 stimmt das

31.08.2017, 17:56

HAL 9000

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Du weißt schon, dass die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, und ich im Zusammenhang damit ausdrücklich "von links" geschrieben habe?

Richtig ist, dass du die Gleichung alternativ auch "von rechts", dann allerdings mit $\begin{align*} A\cdot d_i \end{align*}$ multiplizieren kannst, außerdem ist sie vorher zu transponieren - aber Mischformen wie in den Zeilen

Zitat:

Original von Mesut95
= $\begin{eqnarray*} Ad_i *b_1*d_1+...+ Ad_i*b_l*d_l \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} b_1* (Ad_i *d_1)+...+ b_l(Ad_i*d_l) \end{eqnarray*}$

gehen gar nicht. unglücklich

31.08.2017, 18:31

Mesut95

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= $\begin{eqnarray*} ( b_1*d_1+...+b_l*d_l) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} d_{i}^T*A ( b_1*d_1+...+b_l*d_l) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} d_{i}^T*A *b_1*d_1+...+d_{i}^T*A *b_l*d_l \end{eqnarray*}$

jetzt können wir b raus ziehen weil b eine Reele Zahl ist

$\begin{eqnarray*} b_1*( d_{i}^T*A *d_1)+...+*b_l*(d_{i}^T*A *d_l) \end{eqnarray*}$

aber jetzt müsste es doch stimmen

31.08.2017, 18:37

HAL 9000

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Die Umformung stimmt jetzt, aber wie du unvermittelt auf

Zitat:

Original von Mesut95
Somit sind alle b =0 stimmt das

kommst, solltest du etwas näher ausführen.

31.08.2017, 18:53

Mesut95

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In der Aufgabenstellung steht ja das

$\begin{eqnarray*} d_{i}^T*A *d_l)=0 \end{eqnarray*}$ ist wenn

A Positiv Definit ist. 0*b=0 dann ist b =0 deswegen

31.08.2017, 20:39

HAL 9000

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Nein: In der Aufgabenstellung steht, dass $\begin{align*} A \end{align*}$ positiv definit UND das zusätzlich $\begin{align*} d_i^T A d_j = 0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} i\neq j \end{align*}$ gilt. Diese letztgenannte Eigenschaft hat nichts mit der positiven Definitheit zu tun, folgt insbesondere nicht aus ihr. unglücklich

Und dein "aus 0*b=0 folgt b=0" ist ja nun absoluter Unfug.

----------------------------------------------------------

Wo stehen wir wirklich: Aus dem Ansatz $\begin{align*} \sum_{j=1}^{\ell} b_j \mathbf{d}_j = 0 \end{align*}$ folgt für beliebiges $\begin{align*} i=1,2,\ldots,\ell \end{align*}$ die Gleichung $\begin{align*} \sum_{j=1}^{\ell} b_j \left( \mathbf{d}_i^T\cdot A\cdot \mathbf{d}_j\right) = 0 \end{align*}$ .

Was kann man daraus unter Einsatz der Voraussetzung $\begin{align*} \mathbf{d}_i^T\cdot A\cdot \mathbf{d}_j = 0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} j\neq i \end{align*}$ (das gilt also NICHT für $\begin{align*} j=i \end{align*}$ ) folgern?

31.08.2017, 21:11

Mesut95

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da würde auf der linken seite 0 raus kommen und es würde stehen
0=0 Keine Ahnung bin sehr verwirrt

31.08.2017, 21:22

HAL 9000

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Muss ich es noch fetter schreiben:

Zitat:

Original von HAL 9000
(das gilt also NICHT für $\begin{align*} j=i \end{align*}$ )

Das ist kein Wink mit dem Zaunpfahl, das ist schon ein riesiger Balken. Finger1

31.08.2017, 21:25

Mesut95

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Ja dann würde ich das auf die andere seite dividieren und daraus würde doch b=0 folgen...
sag mir doch einfach du siehst doch ich komme irgendwie nicht drauf Forum Kloppe

31.08.2017, 21:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mesut95
sag mir doch einfach du siehst doch ich komme irgendwie nicht drauf Forum Kloppe

Wenn du hier prügeln willst, dann such dir einen anderen Helfer. Finger2

31.08.2017, 21:53

Mesut95

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Îch prügel doch gar nicht dich unglücklich

das ist für mich selber.
So einen auf du blödi warum verstehst du das nicht Big Laugh

31.08.2017, 23:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mesut95
Îch prügel doch gar nicht dich unglücklich

das ist für mich selber.

Dann verwende das nächste Mal den hier: Hammer

Dein Satz (?!) danach ist im besten Fall Selbstkritik, im schlimmsten Fall eine Beleidigung - du hast Recht, ich verstehe deinen Slang nicht. unglücklich

01.09.2017, 01:44

Mesut95

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Hal9000

Wir wissen ja für i=j nur das $\begin{eqnarray*} d_{i}^T*A*d_j >0 \end{eqnarray*}$ sein muss weil A Positiv Definit ist. Das heißt aber das b=0 sein muss weil damit ein Produkt 0 wird muss mindestens ein Faktor 0sein stimmt das

01.09.2017, 14:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mesut95
Wir wissen ja für i=j nur das $\begin{eqnarray*} d_{i}^T*A*d_j >0 \end{eqnarray*}$ sein muss weil A Positiv Definit ist.

Wichtig ist, dass es garantiert ungleich Null ist, sonst klappt der nächste Schluss nicht. (Und ja, das ist genau der Schritt, wo wir die positive Definitheit benötigen.)

Zitat:

Original von Mesut95
Das heißt aber das b=0 sein muss weil damit ein Produkt 0 wird muss mindestens ein Faktor 0sein stimmt das

Richtig, aber bitte genauer arbeiten: Es folgt erstmal nur $\begin{align*} b_i=0 \end{align*}$ .

Diese Betrachtung $\begin{align*} d_i^T\cdot A\cdot (\ldots) \end{align*}$ kann man aber für alle $\begin{align*} i=1,\ldots,\ell \end{align*}$ durchführen, womit der Beweis komplett ist.

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