Lokale, isolierte Extremwerte und Sattelpunkte

31.08.2017, 17:44

Mesut95

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Lokale, isolierte Extremwerte und Sattelpunkte

Meine Frage:
Hi hier ist wieder Mesut mit einer neuen schönen Interesanten aufgabe Big Laugh

Big Laugh

Meine Ideen:
Na dann ich habe ganz Normal den Gradient Ausgerechnet und ich muss jetzt die Nullstellen des Linearen Gleichungssystem raus bekommen. Also von ;

$\begin{eqnarray*} e^{-x^2-y^2}*(-x-2x^2*y+y) =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{-x^2-y^2}*(-y-2y^2*x+x) =0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir die 1.Gleichung anschaue dann weiß ich erstmal das ein Produkt 0 wird wenn eines der beiden Faktoren 0 ist. Die e FUnktion wird nie 0 deshalb habe ich überprüft wann

$\begin{eqnarray*} -y-2y^2*x+x =0 \end{eqnarray*}$ die Gleichung 0 wird.

Diese GLeichung wird nur null wenn x und y =0 sind also Gleichzeitig.

Als nächstes habe ich überprüft wann

$\begin{eqnarray*} (-y-2y^2*x+x) =0 \end{eqnarray*}$ 0 wird.
Diese Gleichung wird genau dann 0 wenn x,y=0 sind. Also fasse ich beide Lösungsmengen zusammen und das Gleichungssystem wird genau dann 0 wenn
x=0, y=0 ist.
Meine frage ist kann man das so machen ? ist das erlaubt

31.08.2017, 19:24

Mesut95

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RE: Lokale, isolierte Extremwerte und Sattelpunkte
Die Hesse Matrix ist :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (4yx^3+2x^2-6y*x-1)*e^{-x^2-y^2} & (4y^2*x^2-2y^2+2xy-2x^2+1)*e^{-x^2-y^2}\\ (4y^2*x^2-2y^2+2xy-2x^2+1)*e^{-x^2-y^2} & (4xy^3+2y^2-6xy-1)*e^{-x^2-y^2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Kritische Stelle eingesetzt ergibt :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Eigenwerte davon sind {-2,0}

Also ist die Hesse-Matrix Negativ semidefinit.

stimmt denn das alles ?

01.09.2017, 09:32

klarsoweit

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RE: Lokale, isolierte Extremwerte und Sattelpunkte

Zitat:

Original von Mesut95
Wenn ich mir die 1.Gleichung anschaue dann weiß ich erstmal das ein Produkt 0 wird wenn eines der beiden Faktoren 0 ist. Die e FUnktion wird nie 0 deshalb habe ich überprüft wann

$\begin{eqnarray*} -y-2y^2*x+x =0 \end{eqnarray*}$ die Gleichung 0 wird.

Die 1. Gleichung lautete doch $\begin{eqnarray*} -x-2x^2*y+y =0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Mesut95
Diese GLeichung wird nur null wenn x und y =0 sind also Gleichzeitig.

Als nächstes habe ich überprüft wann

$\begin{eqnarray*} (-y-2y^2*x+x) =0 \end{eqnarray*}$ 0 wird.
Diese Gleichung wird genau dann 0 wenn x,y=0 sind. Also fasse ich beide Lösungsmengen zusammen und das Gleichungssystem wird genau dann 0 wenn
x=0, y=0 ist.
Meine frage ist kann man das so machen ? ist das erlaubt

Irgendwie hast du es mit diesen tollen Überlegungen geschafft, die Lösungen x_2 = 1, y_2 = -1 und x_3 = -1, y_3 = 1 unter den Tisch zu kehren. geschockt

geschockt

01.09.2017, 10:23

Mesut95

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RE: Lokale, isolierte Extremwerte und Sattelpunkte
Oii mist sowas darf mir nicht passieren unglücklich

unglücklich

Wie komme ich drauf nur durch hingucken?

01.09.2017, 10:54

klarsoweit

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RE: Lokale, isolierte Extremwerte und Sattelpunkte
Nun ja, ich habe die 1. Gleichung nach y aufgelöst und in die 2. Gleichung eingesetzt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.09.2017, 11:26

Mesut95

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RE: Lokale, isolierte Extremwerte und Sattelpunkte
Zu dem was ich gemacht hatte ist das denn richtig ?
Die Hesse Matrix ist :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (4yx^3+2x^2-6y*x-1)*e^{-x^2-y^2} & (4y^2*x^2-2y^2+2xy-2x^2+1)*e^{-x^2-y^2}\\ (4y^2*x^2-2y^2+2xy-2x^2+1)*e^{-x^2-y^2} & (4xy^3+2y^2-6xy-1)*e^{-x^2-y^2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Kritische Stelle eingesetzt ergibt :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Eigenwerte davon sind {-2,0}

Also ist die Hesse-Matrix Negativ semidefinit.

Und da die Hesse-Matrix Negativ Semidefinit ist kann ich keine Aussage treffen. Aber wenn ich die Funktion betrachte dann gilt f(x,y) > f(0,0) =1/2und f(x,y)< f(0,0) =1/2. Ob f(x,y) Positiv oder Negativ wird hängt nur vom produkt xy ab. Wenn einer dieser Faktoren negativ ist bzw kleiner als -1/2 dann ist der ganze Ausddruck negativ. Wenn beide Faktoren Positiv sind bzw größer -1/2 dann ist der Ausdruck auch Positiv
Daher müsste es ein Sattelpunkt sein oder

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01.09.2017, 13:10

Mesut95

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RE: Lokale, isolierte Extremwerte und Sattelpunkte
Und noch da?

01.09.2017, 14:22

klarsoweit

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RE: Lokale, isolierte Extremwerte und Sattelpunkte
Na ja, man wird ja auch mal nachdenken dürfen. Das würde dir auch ganz gut zu Gesichte stehen. Lehrer

Lehrer

Zitat:

Original von Mesut95
Aber wenn ich die Funktion betrachte dann gilt f(x,y) > f(0,0) =1/2und f(x,y)< f(0,0) =1/2.

Hä, wie ist das denn zu verstehen? verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von Mesut95
Ob f(x,y) Positiv oder Negativ wird hängt nur vom produkt xy ab.

Mag sein, aber da die Funktion stetig ist, ist sie in einer genügend kleinen Umgebung um den Nullpunkt immer positiv.

Bekanntlich ist $\begin{eqnarray*} 2xy \leq x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1+x \leq e^x \end{eqnarray*}$ . Damit gehen wir jetzt wie folgt in Rennen:

$\begin{eqnarray*} e^{-x^2-y^2} \cdot (\frac 1 2 + xy) = \frac 1 2 e^{-x^2-y^2} \cdot (1 + 2xy) \leq \frac 1 2 e^{-x^2-y^2} \cdot (1 + x^2 + y^2) \leq \frac 1 2 e^{-x^2-y^2} \cdot e^{x^2+y^2} = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Somit ist da ein Maximum. War wohl nichts mit Sattelpunkt. Big Laugh

Big Laugh

02.09.2017, 12:25

Mesut95

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RE: Lokale, isolierte Extremwerte und Sattelpunkte
Wie kommt man auf 2xy<= x^2+y^2 ?
1+x <e^x ist mir klar die e Funktion wächst viel schneller.

Den nächsten Punk eingesetzt (1,-1) bekomme ich :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Eigenwerte sind {2,4}

Die Eigenwerte sind also Nur Positive Werte und daher ist ein Isolierter Minimum gegeben.

Stimmt das ?

Beim Nächsten Punkt also (-1,1 ) bekomme ich wieder

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also wieder ein Minimum ?

03.09.2017, 22:11

Mesut95

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RE: Lokale, isolierte Extremwerte und Sattelpunkte
stimmt das ?

04.09.2017, 13:27

klarsoweit

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RE: Lokale, isolierte Extremwerte und Sattelpunkte

Zitat:

Original von Mesut95
Wie kommt man auf 2xy<= x^2+y^2 ?

(x - y)² >= 0 ist wohl klar? Löse die Klammer auf und stelle um. smile

smile

Zitat:

Original von Mesut95
1+x <e^x ist mir klar die e Funktion wächst viel schneller.

Nun ja, ein Beweis ist das eher nicht. Beispielsweise stimmt 2+x < e^x nicht für alle x. Und in der Tat muß es auch $\begin{eqnarray*} 1+x \leq e^x \end{eqnarray*}$ heißen.

Zitat:

Original von Mesut95
Den nächsten Punk eingesetzt (1,-1) bekomme ich :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hm, ich sehe da eher: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3e^{-2} & -e^{-2} \\ -e^{-2} & 3e^{-2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

04.09.2017, 13:57

Mesut95

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RE: Lokale, isolierte Extremwerte und Sattelpunkte
Also hier betrachte ich am besten die Hauptminoren

3e^-2 >0

und

9e^-2 -e^-4 > 0

das heißt die Matrix ist Positiv Definit und daraus folgt wir haben an dieser Stelle einen Isolierten Minimum.

und wenn ich den nächsten Punkt einsetze kommt genau das selbe raus verwirrt

verwirrt

05.09.2017, 08:31

Mesut95

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RE: Lokale, isolierte Extremwerte und Sattelpunkte
Ja stimmt denn das ?

05.09.2017, 09:42

klarsoweit

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RE: Lokale, isolierte Extremwerte und Sattelpunkte
Ich habe keine Einwände. Müßte also passen (sofern ich nichts übersehen habe).

05.09.2017, 10:42

Mesut95

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RE: Lokale, isolierte Extremwerte und Sattelpunkte
Das kommt aber im Punkt (1,-1) und (-1,1) hat das was genaues zu bedeuten?

05.09.2017, 10:47

IfindU

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RE: Lokale, isolierte Extremwerte und Sattelpunkte

Zitat:

Original von Mesut95
Also hier betrachte ich am besten die Hauptminoren
9e^-2 -e^-4 > 0

Richtig wäre $\begin{eqnarray*} 9 e^{-4} - e^{-4} = 8 e^{-4} \end{eqnarray*}$ . Ändert natürlich nichts an dem Vorzeichen.

06.09.2017, 11:56

klarsoweit

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RE: Lokale, isolierte Extremwerte und Sattelpunkte

Zitat:

Original von Mesut95
Das kommt aber im Punkt (1,-1) und (-1,1) hat das was genaues zu bedeuten?

Was sollte das bedeuten? Es ist eben so.

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