Gleichseitiges 3eck in ungleichseitigem 3eck?

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Baumzeltler Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichseitiges 3eck in ungleichseitigem 3eck?
Meine Frage:
Ich will ein gleichseitiges Dreieck mit definierter und bekannter Seitenlänge so in einem grösseren UNgleichseitigen Dreieck (mit ebenfalls definierten und bekannten Seitenlängen) positionieren, dass die Winkelhalbierenden des kleineren Dreiecks genau auf die Ecken des grösseren Dreieck zielen. Und dann möchte ich schliesslich die Distanzen zw. den jeweiligen zueinandergehörenden Ecken berechnen. Anwendung: Ein Baumzelt (Tentsile, siehe Google Augenzwinkern zwischen 3 Bäumen in der optimalen Position aufspannen.

Meine Ideen:
Ich versuchte es mit einem 3x3-Gleichungssystem mit 3 Kosinussätzen mit jeweils cos(120), doch die Mathe-App (Phothomath) sagt: "this problem has no solution". Sollte doch aber gehen: es sind ja nur 3 Unbekannte...
Vielen Dank für Hilfe!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Was verstehst du "in ... positionieren" ? Nur, dass das kleinere Dreieck einfach drin liegt, aber nicht irgendwelche Forderungen, dass dessen Ecken etwa auf dem Rand des größeren Dreiecks liegen? Das wäre nämlich i.a. auch nicht erfüllbar - zu viele Bedingungen! Augenzwinkern

Ansonsten:Bestimme den ersten Fermatpunkt des äußeren großen Dreiecks, und das kleinere Dreieck mit dem Mittelpunkt in diesem Fermatpunkt - wo dessen Ecken dann liegen müssen, sollte dann klar sein.
Baumzeltler Auf diesen Beitrag antworten »

Yeah! Herzlichen Dank für die prompte Antwort!
Mein Problem heisst also: Ich kenne (nur) die drei Seitenlängen eines ungleichseitigen Dreiecks und möchte die 3 Distanzen zwischen dem Fermat-Punkt und den 3 Ecken des Dreiecks berechnen.
Geometrisch konstruieren und ausmessen könnt ich das, aber wie berechne ich das?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Baumzeltler
Geometrisch konstruieren und ausmessen könnt ich das, aber wie berechne ich das?

Was geometrisch konstruiert werden kann, kann man auch berechnen - zur Not durch analytische Geometrie bzw. äquivalent dazu Vektorrechnung.

Zudem stehen im angegebenen Link z.B. die Baryzentrischen Koordinaten des Fermatpunkts, basierend auf den Seitenlängen sowie den Innenwinkeln des äußeren Dreiecks - damit kann man dann doch alles berechnen.

---------------------------------

Genauer ausgeführt könnte man also bei gegebenen Seitenlängen des äußeren Dreiecks so vorgehen:

1) Berechnen der Dreiecksinnenwinkel (per Kosinussatz, ggfs. auch teilweise per Sinussatz). Dabei sollten alle drei Winkel kleiner als sein, sonst klappt die Sache nicht!!!

2) Berechnen der Baryzentrischen Koordinaten des Fermatpunkts: , und .

3) Festlegen passender Eckpunktkoordinaten, beispielsweise , und und daraufhin des Fermatpunkts selbst:

4) Berechnen der gesuchten Entfernungen , und

Anmerkung: Die Ergebnisse von 4) hängen nicht von der konkreten Wahl der Punkte in 3) ab. Die müssen dort nur so festgelegt werden, dass auch wirklich gilt - die angegebene Wahl erfüllt das. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die gesuchten Abstände habe ich vor längerer Zeit einmal berechnet:



Mit ist hier der Flächeninhalt des Dreiecks gemeint:



Die beiden anderen und bekommt man durch zyklische Vertauschung (Minuszeichen vor bzw. ).
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nette winkelfreie Darstellung des Resultats. Augenzwinkern

Unter Einbeziehung von und gleichzeitigem Verzicht auf die Innenwinkel bekommt man für die baryzentrischen Koordinaten oben die Darstellungen







(wobei man die Zähler auch weglassen könnte, es muss am Ende ja eh normiert werden), da sieht man ja schon vergleichbare Termstrukturen. Im weiteren Fortgang bereitet allerdings ein wenig Kopfzerbrechen (Formelwust), das scheint sich aber unter Einbeziehung von Heron wieder einigermaßen aufzulösen. Augenzwinkern
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte damals die folgenden baryzentrischen Koordinaten bekommen, bereits normiert:









Ein numerischer Vergleich mit deinen Formeln zeigt CAS-fast-sicher: und so weiter. Es wird also wohl dasselbe sein.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Ein numerischer Vergleich mit deinen Formeln zeigt CAS-fast-sicher:

Machen wir ein "CAS-sicher" draus: Es bedurfte zwar ein wenig Drängeln und Schubsen des CAS in die vor dir angebene Richung, aber mit "simplify(expand(u'-u/(u+v+w)))" in Verbindung mit deiner Formel für u' kam dann doch eine schöne Null raus. Freude
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