Term rational?

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Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
Term rational?
alter Zettel im Mathebuch:

der TR gibt gerundet die komplexe Zahl aus. Der Befehl EVAL liefert hingegen:



wenn ich den TR nun mit -->NUM zum Ergebnis zwinge gibt er aus

Das riecht aber mehr als deutlich nach der rationalen Zahl 2. Wie könnte man das zeigen ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Term rational?
Es kommt tatsächlich 2 raus. Erstmal: , also zieht man die dritte Wurzel einer negativen Zahl. Damit das wohldefiniert ist, sollte man das lieber umschreiben zu . Dann meint man die eindeutige, postive Lösung der Wurzel. Insbesondere sollte der Taschenrechner nichts komplexes mehr vorschlagen.

Ich habe mal Wolfram Alpha gefragt, nachdem ich versucht habe:
zu benutzen.

Er schlägt vor zu schreiben: . Insbesondere ist also . Der andere Summand muss also sein. (Geschummelt, aber so geht es auf).

Nun kann man nachrechnen, dass es gilt. Alternativ zerlegt man mit Magie ebenfalls .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Streng nur mit dem komplexen Hauptwert der Wurzeln gerechnet ist



vollkommen korrekt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Term rational?
Zitat:
Original von IfindU
... zerlegt man mit Magie ...


Man braucht keine Magie. Augenzwinkern Wenn man den Verdacht hat, daß es Lösungen mit ganzzahligen Koeffizienten gibt, kommt man auch mit etwas Teilbarkeitslehre hin:



Ein Koeffizientenvergleich führt auf



Die Klammern liefern positive Werte, also kann es höchstens mit positiven gehen. Da 7 eine Primzahl ist, muß entweder 1 oder 7 sein. Mit der Wahl 7 bekommt aber die Klammer einen zu großen Wert, also kommt nur in Frage. Ganz analog findet man . Und die Probe zeigt, daß die Klammern genau den fehlenden Faktor liefern. Glück gehabt! Wir folgern:



Und entsprechend leitet man auch



her. Die Gleichungen und haben daher jeweils drei komplexe Lösungen













Von den 9 Kombinationen ist . Die anderen 8 Lösungen zerfallen in 4 Paare konjugiert komplexer Zahlen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Struktur oben stammt ja mutmaßlich von der Anwendung der Cardanischen Formeln zur Lösung von . Bei der Darstellung



besteht ein leichtes Potential für Missverständnisse: Nicht jede der Kombinationen der dritten Wurzeln führt über diese Formel zu einer Lösung der zugrunde liegenden kubischen Gleichung, sondern nur drei davon. Fatalerweise kann auch die Kombination der beiden Drittwurzel-Hauptwerte zu den Nichtlösungen gehören, wie oben zu sehen. Deshalb ist es günstiger, mit zu arbeiten, wobei die drei dritten Wurzeln von durchläuft.

Im Fall reell mit und dann nur einer reellen Lösung kann man natürlich auch folgendermaßen vorgehen, wenn wir genau diese eine reelle Lösung per (*) ermitteln wollen:

Man muss in (*) bei beiden dritten Wurzeln jeweils die reelle Variante wählen, dann klappt es. Das ist den meisten Menschen (zumindest intuitiv) klar, nur offenkundig nicht jedem CAS, dem man einfach Formel (*) eingibt.

EDIT: Ein wenig erinnert mich das auch an diese Problemstellung

Cardano Drillinge .
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

irgendwie funktioniert mathjax bei mir nicht mehr. Und keiner will-kann mir helfen Deshalb für Leidensgenossen und mich die Zitate in Latex zum Lesen:

Zitat:
Original von HAL 9000
Streng nur mit dem komplexen Hauptwert der Wurzeln gerechnet ist



vollkommen korrekt.


Zitat:
Original von Leopold
[...] Wenn man den Verdacht hat, daß es Lösungen mit ganzzahligen Koeffizienten gibt, kommt man auch mit etwas Teilbarkeitslehre hin:



Ein Koeffizientenvergleich führt auf



Die Klammern liefern positive Werte, also kann es höchstens mit positiven gehen. Da 7 eine Primzahl ist, muß entweder 1 oder 7 sein. Mit der Wahl 7 bekommt aber die Klammer einen zu großen Wert, also kommt nur in Frage. Ganz analog findet man . Und die Probe zeigt, daß die Klammern genau den fehlenden Faktor liefern. Glück gehabt! Wir folgern:



Und entsprechend leitet man auch



her. Die Gleichungen und haben daher jeweils drei komplexe Lösungen













Von den 9 Kombinationen ist . Die anderen 8 Lösungen zerfallen in 4 Paare konjugiert komplexer Zahlen.


Zitat:
Original von HAL 9000
Die Struktur oben stammt ja mutmaßlich von der Anwendung der Cardanischen Formeln zur Lösung von . Bei der Darstellung



besteht ein leichtes Potential für Missverständnisse: Nicht jede der Kombinationen der dritten Wurzeln führt über diese Formel zu einer Lösung der zugrunde liegenden kubischen Gleichung, sondern nur drei davon. Fatalerweise kann auch die Kombination der beiden Drittwurzel-Hauptwerte zu den Nichtlösungen gehören, wie oben zu sehen. Deshalb ist es günstiger, mit zu arbeiten, wobei die drei dritten Wurzeln von durchläuft.

Im Fall reell mit und dann nur einer reellen Lösung kann man natürlich auch folgendermaßen vorgehen, wenn wir genau diese eine reelle Lösung per (*) ermitteln wollen:

Man muss in (*) bei beiden dritten Wurzeln jeweils die reelle Variante wählen, dann klappt es. Das ist den meisten Menschen (zumindest intuitiv) klar, nur offenkundig nicht jedem CAS, dem man einfach Formel (*) eingibt.

EDIT: Ein wenig erinnert mich das auch an diese Problemstellung

Cardano Drillinge .
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

jede Menge Studienstoff!
Das alte Büchlein ist mehr so hardcore, weit und breit nix von komplexen Zahlen und Cardano zu sehen. Warum nicht direkt . Vielleicht ergibt sich was mit Binomen:





wenn man das mühsam nach expandiert und zusammenfasst ergibt sich



was x enthält, woraus unschwer folgt

mit der Lösung nach Vieta(?)
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