Kleinste Primzahl Modulo derer Polynom zerfällt

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Mathemeisteeeeer Auf diesen Beitrag antworten »
Kleinste Primzahl Modulo derer Polynom zerfällt
Hallo zusammen Wink
Mein Problem: habe ein Polynom vom Grad 11 und suche die kleinste Primzahl, sodass f in in Linearfaktoren zerfällt. Habe bisschen "per Hand" rumgespielt und mir einfach die Faktorisierungen Modulo aller Primzahlen ausgeben lassen. Da war kein Treffer dabei. Jetzt bräuchte ich vielleicht eine Idee wie ich das in einem Computeralgebrasystem umsetzen kann.
Danke schon mal für eure Tipps Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst "nur" für jede Primzahl den Zerfällungskörper des Polynoms über berechnen. Ist er gleich bist du fertig, wenn nicht, musst du weitersuchen.
(Ich weiß allerdings nicht, ob es ein Programm gibt, das den Zerfällungskörper berechnet.)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann bei dem Thema nicht helfen, aber als Algebra-Laie hätte ich angesichts der vorliegenden Problemstellung mal eine Frage an die Experten:

Ist denn überhaupt gesichert, dass ein solches immer existiert, d.h. für jedes Polynom aus ?

Und falls nein, mit welchen Mitteln weist man die Nichtexistenz für ein konkret vorliegendes Polynom nach?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Als Zahlentheorie-Möchtegern-Profi muss ich zugeben, dass ich nicht einmal weiß, ob jedes normierte ganzrationale irreduzible Polynom in einem vollständig zerfällt. Wenn man das wüßte, könnte man anfangen darüber nachzudenken, ob das allgemeinere Problem stets lösbar ist.
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Dass es solche Primzahlen gibt (und zwar unendlich viele davon) sagt das der Tschebotareffsche Dichtigkeitssatz. Die Dichte ist 1/11!=1/39.916.800.
Also dürfte das gesuchte p schon noch etwas größer sein.

Ich weiß allerdings nicht ob der Satz auch effektiv ist.

Da es ja scheinbar um ein konkretes Polynom geht kann man das ja auch noch einbauen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Da muss ich noch einmal Hasse "Zahlbericht, Teil II" lesen. Das kann dauern ... und ob ich das verstehe und anwenden kann, ist mir auch noch nicht klar ... ich melde mich dann im Jahre 2030 wieder zum hundertjährigen Jubiläum von "Teil II" ...
 
 
Mathemeisteeeeer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tatmas
Dass es solche Primzahlen gibt (und zwar unendlich viele davon) sagt das der Tschebotareffsche Dichtigkeitssatz. Die Dichte ist 1/11!=1/39.916.800.
Also dürfte das gesuchte p schon noch etwas größer sein.

Ich weiß allerdings nicht ob der Satz auch effektiv ist.

Da es ja scheinbar um ein konkretes Polynom geht kann man das ja auch noch einbauen.

Das stimmt nicht ganz, die Dichte ist , wobei die Galoisgruppe von ist. Diese hat bei mir ca Elemente. Ist natürlich nur ein statistisches Maß, weshalb es trotzdem ewig dauern kann bis man eine Primzahl findet verwirrt Eine effektive Version gibt es, die Schranke dafür ist aber viel zu groß!
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