Eigenwerte und Eigenräume eines Endomorphismus

03.09.2017, 16:17	Jedi-Knight	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte und Eigenräume eines Endomorphismus Tag Leute Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter und hoffe, dass mir jemand etwas auf die Sprünge helfen kann Sei P_3 der komplexe Vektorraum der komplexen Polynome p(x) vom Grad kleiner/gleich 3. Ein Endomorphismus y von P_3 ist gegeben durch: y(p)=p''+p'+p Davon sollen nun Eigenwerte und Eigenräume bestimmt werden. Da fängt mein Problem schon an, ich denke dass der Endomorphismus (natürlich) als Matrix dargestellt werden soll, aber wie stelle ich das am besten an? Ich habe mir überlegt, dass ich eine Basis aufstelle, die wie folgt aussieht: p(x)= $\begin{eqnarray} ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray}$ Bin ich da auf dem richtigen Weg? Danke schon im voraus
03.09.2017, 18:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein allgemeiner Vektor ist keine Basis. Welche Dimension hat dieser Vektorraum ? Bestimme eine Basis. Berechne die Bilder der Basis unter y. Stelle die Matrix auf. Berechne die Eigenwerte von y. Berechne die Eigenräume.
03.09.2017, 19:44	Jedi-Knight	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, natürlich Danke für die Antwort Der Vektorraum hat Dimension 4, eine Basis wäre in dem Fall $\begin{eqnarray} 1, x, x^2, x^3 \end{eqnarray}$ Wenn ich den Endomorphismus auf diese Basis anwende, bekomme ich die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ x \\ x^2 \\ x^3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Liege ich damit richtig? Eigenwerte könnte ich daraufhin berechnen, das ist kein Problem
03.09.2017, 19:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Bilder der Basisvektoren stehen immer in den SPALTEN der Matrix. Außerdem multipliziert man nicht eine Matrix mit einem Vektor aus Vektoren, sondern mit einem Komponentenvektor. Das heißt $\begin{eqnarray} p=p(x)=ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow y(p)=Mp=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d \\ c \\ b \\ a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} d+c+2b \\ c+2b+6a \\ b+3a \\ a \end{pmatrix}=ax^3+(3a+b)x^2+(6a+2b+c)x+2b+c+d \end{eqnarray}$

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