Signatur und Orthogonalbasis symmetrischer Bilinearform

04.09.2017, 13:33

skyer23

Signatur und Orthogonalbasis symmetrischer Bilinearform

Meine Frage:
Hi zusammen,
ich bereite mich gerade auf meine Prüfung in Lineare Algebra 2 vor und habe da eine Übungsaufgabe bei der ich nicht weiter weiss. Hoffe ihr könnt mich erleuchten smile

Die Aufgabe lautet wie folgt:
Sei V der reelle Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ der Spaltenvektoren mit reellen Einträgen und sei

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 5 & 5 & 0 \\ 5 & -8 & -2 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Die Bilinearform <,> : $\begin{eqnarray*} V\times V \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei definiert durch $\begin{eqnarray*} (x,y) \rightarrow x^{t}Ay \end{eqnarray*}$ .
a) Bestimme die Signatur der obigen symmetrischen Bilinearform
b) Finde eine Basis von V in welcher die Matrix der Bilinearform diagonal ist, d.h. eine sogenannte Orthogonalbasis

Meine Ideen:
zu a) Ich hätte hier zuerst die Eigenwerte berechnet, danach die Eigenvektoren dazu gebildet und diese als Spalten für die Matrix S mit $\begin{eqnarray*} S^{t}AS = D \end{eqnarray*}$ mit D als Diagonalmatrix verwendet und dann dort von der Diagonalmatrix die Signatur abgelesen (Anzahl positive und negative Einträge auf der diagonalen. Leider hat die Matrix A ein char. Polynom das so einfach nicht aufzulösen ist, was das ganze natürlich stark erschwert. Deshalb frage ich mich ob das nicht auch einfacher geht. Habe deshalb noch etwas recherchiert und die Sylvester-Normalform gefunden. Ich habe also versucht die Matrix A durch Zeilen- und Spaltenumformungen in diese Form zu bringen. Dabei habe ich erhalten nach (Z2-Z1, S2-S1, Z3-2/13Z2, S3-2/13S2):

$\begin{eqnarray*} S= \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & -13 & 0 \\ 0 & 0 & 4/13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Hier sollte man nach dem Trägheitssatz von Sylvester die Signatur von (2,1) ablesen können (gem. Vorzeichen) ist das richtig oder bin ich hier komplett auf dem Holzweg?

Zu b) auch hier versuchte ich zuerst mit den Eigenvektoren von A eine neue Matrix U mit den Spalten aus den Eigenvektoren von A zu machen. Diese sind bei versch. Eigenwerten orthogonal zueinander und bilden eine Basis von V. Leider bin ich auch hier abhängig von den Eigenwerten, die ich aber leider nicht ausrechnen konnte....

hoffe ihr könnt helfen :S

Korrrekturen aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht. Steffen

05.09.2017, 22:17

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Ich habe

$\begin{eqnarray*} S^{T}AS = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier stimmen die beiden Signaturen überein
das ist doch schon was

06.09.2017, 08:58

skyer23

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und wie bist du auf dieses S gekommen?

06.09.2017, 18:16

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Zitat:

Original von skyer23
und wie bist du auf dieses S gekommen?

Ich habe folgendes gerechnet pro Spalte $\begin{eqnarray*} \frac{\vec{v}_1 }{\sqrt{\lambda _1}| \vec{v}_1| } \end{eqnarray*}$
Und das sah dann so ähnlich aus wie bei dir nur,dass bei mir das Minus links oben steht und bei dir in der Mitte
Ist egal. Oder?

Die Idee das S zu nennen war von mir vielleicht nicht so gut,weil das nicht identisch ist mit deinen S

Und bei b?
Das könnte man doch das Gram Schmidt Verfahren anwenden

06.09.2017, 21:26

skyer23

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hmm... wie bist du denn auf die Eigenwerte von A gekommen, bei mir schaut da nix rationales dabei raus :S

zu b) Gram-Schmidt kling nicht schlecht. Habe ich auch schon gedacht. Nimmst du als Startvektor einfach einen der Einheitsvektoren im E3 z.B. (1,0,0). Habe bisher immer versucht mir einen Startvektor aus den Eigenvektoren von A zu basteln, aber da die eben nicht so einfach zu berechnen sind bin ich immer gescheitert....

07.09.2017, 09:28

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Zitat:

Original von skyer23
hmm... wie bist du denn auf die Eigenwerte von A gekommen, bei mir schaut da nix rationales dabei raus :S

Online ausrechnen lassen

Bei b ist der beste Weg wahrscheinlich wenn man
Z2-Z1, Z3-2/13Z2 auf die Einheitsmatrix anwendet

Ich komme dann auf

$\begin{eqnarray*} b=\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} \frac{2}{13} \\ -\frac{2}{13} \\ 1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

Das ist zwar keine Orthogonalbasis scheint aber zu stimmen

08.09.2017, 08:53

skyer23

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Zitat:

Original von xb
Online ausrechnen lassen

ja so geht es natürlich schon Augenzwinkern

Ist aber eine alte Prüfungsaufgabe und da durfte man das wohl kaum. Von dem her sollte es doch einen einfacheren Weg geben. Irgendeinen Trick den man anwenden kann. Ist zum Verzweifeln....

08.09.2017, 11:35

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Nochmal zusammengefasst

Du brauchst für die Aufgabe weder Eigenwerte noch Eigenvektoren
Meine Rechnung ist eine mehr oder weniger überflüssige Nebenrechnung

Du hattest D berechnet mit
(Z2-Z1, S2-S1, Z3-2/13Z2, S3-2/13S2)

$\begin{eqnarray*} D= \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & -13 & 0 \\ 0 & 0 & 4/13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wobei D auch nur mit ganzen Zahlen möglich ist

und die gesuchte Basis berechnet man so ähnlich

Zitat:

Original von xb
Bei b ist der beste Weg wahrscheinlich wenn man
Z2-Z1, Z3-2/13Z2 auf die Einheitsmatrix anwendet

da bekommt man dann S^T
und S ist dann die gesuchte Basis

Eine Frage bleibt allerdings
Was bedeutet hier Orthogonalbasis?

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