Lambertsche W Funktion

04.09.2017, 17:11	Litona	Auf diesen Beitrag antworten »
Lambertsche W Funktion Meine Frage: Hallo, ich versuche gerade eine Gleichung zu lösen, die da lautet: $\begin{eqnarray} 0 = 0.25\ln{x}-0.05x \end{eqnarray}$ . Ich bin bereits an diese Stelle gekommen: $\begin{eqnarray} 1=x^{-5}e^{x} \end{eqnarray}$ . Laut Wolframalpha kann man das ganze auch lösen (-> https://www.wolframalpha.com/input/?i=1=a^-5e^a), dennoch weiß ich auch nach dem Lesen des Wikipedia Artikels zur Lambertschen W Funktion nicht, wie man auf die dort angegebene Lösung kommt. Vielen Dank im Voraus Litona Meine Ideen: siehe Fragestellung
04.09.2017, 17:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
LambertW ermöglicht es, die Gleichung $\begin{align} ze^z = c \end{align}$ bei gegebenem reellen $\begin{align} c \end{align}$ "aufzulösen", mit (je nach Größe von $\begin{align} c \end{align}$ ) null, eins oder zwei reellen Lösungen. Um das bei einer Gleichung wie der vorliegenden anwenden zu können, muss man diese Gleichung durch Umformung sowie geeignete Substitution in diese Form bringen. Im vorliegenden Fall etwa durch folgende Schritte: $\begin{align} 0 &= 0.25\ln(x)-0.05x \qquad \Bigg\| \;\cdot 4<br /> 0 &= \ln(x)-0.2x \qquad \Bigg\| \;\exp()<br /> 1 & = x \cdot e^{-0.2x} \qquad \Bigg\| \;\cdot (-0.2)<br /> -0.2 & = -0.2x \cdot e^{-0.2x} \end{align}$ Mit Substitution $\begin{align} z=-0.2x \end{align}$ haben wir nun diese Struktur mit $\begin{align} ze^z=c \end{align}$ mit $\begin{align} c=-0.2 \end{align}$ vorliegen. Nun ist $\begin{align} -e^{-1}<c<0 \end{align}$ just jener Bereich, wo diese Gleichung zwei verschiedene reelle z-Lösungen besitzt, die nennt man mit LambertW-Symbolik $\begin{align} W(c)=W_0(c) \end{align}$ sowie $\begin{align} W_{-1}(c) \end{align}$ , hier also $\begin{align} z=W_n(-0.2) \end{align}$ für $\begin{align} n=0 \end{align}$ und $\begin{align} n=-1 \end{align}$ . Die Rücksubstitution $\begin{align} x=-5z \end{align}$ ergibt entsprechend $\begin{align} x=-5W_n(-0.2) \end{align}$ . Nützt dir natürlich nur dann was, wenn du irgendwie (numerisch) Zugriff auf diese LambertW-Funktion hast. In CAS ist das gewöhnlich der Fall. Bei einfachen Taschenrechnern (d.h. ohne CAS-Fähigkeiten) ist sie mir allerdings noch nie begegnet.
04.09.2017, 17:29	Litona	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »