Werte durch Formel verbinden

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PanzerPaul Auf diesen Beitrag antworten »
Werte durch Formel verbinden
Meine Frage:
Guten Tag miteinander!

Ich möchte eine Reihe von Messwerten in eine Formel gießen.
Die Formel soll aber möglichst stimmig sein. das ist mein Problem.

Die Daten:

.1 .23
.3 .215
.4 .19
.5 .207
.6 .203
.65 .203
.7 .203
.75 .206
.8 .208
.85 .222
.9 .235
.95 .293
1 .395
1.05 .411
1.1 .414
1.2 .407
1.3 .393
1.4 .378
1.5 .364
1.6 .351
1.8 .328
2 .308
2.2 .292
2.5 .272
3 .248
3.5 .232
4 .222

Linke Spalte ist die unabhängige Variable.

Meine Ideen:
Nun habe ich das gemacht. Und bekam die Funktion:

f(x) = -0,033742 * x^8 + 0,537515 * x^7 - 3,491289 * x^6 + 11,863619 * x^5 - 22,448928 * x^4 + 23,173044 * x^3 - 11,831226 * x^2 + 2,487669 * x + 0,076666.

Die Standardabweichung ist S = 0,028.

Mir ist das zuviel, was man aus der Form des Graphen (den ich hier leider nicht plotten kann) ersieht.

Wie kann ich das besser machen?
Kann ich eine Splineinterpolation so machen, dass ich über den gesamten Wertebereich nur eine einzige Formel habe?

Jede Idee ist willkommen.

Beste Grüße Paul
PanzerPaul Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht könnte mir da ein hilfreicher Forenteilnehmer eine Vergleichsrechnung mit Marple oder so machen?

Das wäre bestimmt hilfreich.


Grüsse Paul
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PanzerPaul
Kann ich eine Splineinterpolation so machen, dass ich über den gesamten Wertebereich nur eine einzige Formel habe?

Na klar, wenn du mit Indikatorfunktionen arbeitest. Big Laugh

Zitat:
Original von PanzerPaul
f(x) = -0,033742 * x^8 + 0,537515 * x^7 - 3,491289 * x^6 + 11,863619 * x^5 - 22,448928 * x^4 + 23,173044 * x^3 - 11,831226 * x^2 + 2,487669 * x + 0,076666.



Es muss schon ausgesprochen gute Gründe geben, eine Polynominterpolation bis zu Grad 8 durchzuführen. Die negativen Eigenschaften einer solchen Funktion (seltsame "Durchschwinger") überwiegen i.d.R.
PanzerPaul Auf diesen Beitrag antworten »

Hi IBM 10111 !


Da gibt es einen einzigen Grund. Ich habe mehrere Grade ausprobiert und den mit der geringsten Standardabweichung genommen. das war eben der 8ten Grades.

Hast Du denn was besseres zu bieten?


Danke für den Plott!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PanzerPaul
und den mit der geringsten Standardabweichung

Standardabweichung wovon ? verwirrt
Tuzlkdsäfo Auf diesen Beitrag antworten »
Antwort an HAL9000 weil ich als PanzerPaul irgendwie nicht mehr antworten kann:
Meine Frage:
Hi!


vom Fehler. Guckst Du hier --->http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/regr.htm#wasisndas

Ich hab' das gerade mal durchdekliniert vom Grad 1 bis 8. das beste Ergebnis liefert tatsächlich Grad 3. Das kann ich allerdings nur sagen, weil ich ausnahmsweise deine Originalkurve habe.

Aber was tun, wenn ich die nicht habe?


grüsse und offline für heute


Paul

Meine Ideen:
Hi!


vom Fehler. Guckst Du hier --->http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/regr.htm#wasisndas

Ich hab' das gerade mal durchdekliniert vom Grad 1 bis 8. das beste Ergebnis liefert tatsächlich Grad 3. Das kann ich allerdings nur sagen, weil ich ausnahmsweise deine Originalkurve habe.

Aber was tun, wenn ich die nicht habe?


grüsse und offline für heute


Paul
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Moderatoren

Verschiebt bitte mal das ganze dahin, wo es hingehört:

https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=580399

Guppi12: Danke für den Hinweis. Leider will die Technik gerade nicht, etwas Geduld bitte.
Edit 2: Erledigt.


Zitat:
Original von Tuzlkdsäfo
Ich hab' das gerade mal durchdekliniert vom Grad 1 bis 8. das beste Ergebnis liefert tatsächlich Grad 3. Das kann ich allerdings nur sagen, weil ich ausnahmsweise deine Originalkurve habe.

Sowas wie meine Originalkurve gibt es nicht. Ich hab da nur das von dir angegebene Polynom 8.Grades geplottet, mehr nicht. Ich weiß nicht, wo du das herhast - kann nur annehmen, dass du 9 Punkte aus deinem Datensatz ausgewählt hast und für die die Polynominterpolation durchgezogen hast - nachgerechnet habe ich da nichts. Augenzwinkern
PanzerPaul Auf diesen Beitrag antworten »

Moin1

kleiner Verschreiber:

Nicht meine Kurve sondern eine Kurve.

Ich habe einen Graphen und lese von dem einige diskrete Werte ab. Denn die Aneinanderreihung von Einzelwerten hilft mir nicht weiter. (Daher auch keine Splineinterpolation) Zusätzlich habe ich das Problem, dass die Kurve unsauber abgebildet und das logarithmische Raster nur andeutungsweise zu erkennen ist.

Bei dem Beispiel ist das anders. Da hab' ich eine schicke Kurve. Eben die Vergleichskurve.

grüsse Paul
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PanzerPaul
Denn die Aneinanderreihung von Einzelwerten hilft mir nicht weiter. (Daher auch keine Splineinterpolation)

Diese Logik erschließt sich mir nicht. unglücklich
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie immer bei solchen Aufgaben wäre es interessant zu wissen, woher diese Daten stammen. Als Hauselektriker sehe ich da eine Spannung, die plötzlich sprunghaft ansteigt und dann exponentiell abfällt. In diesem Fall ist es sinnfrei, mit einem Polynom ranzugehen, denn damit kann das keinesfalls beschrieben werden.

Viele Grüße
Steffen
PanzerPaul Auf diesen Beitrag antworten »

@Steffen Bühler:

Versteh'!
Nein, da ist keine Spannung im Spiele.
Es geht da um sich verändernde Kräfte, die mit dieser Kurve moduliert werden. leider hab' ich keine Möglichkeit zu einem Scan. Sonst würde ich die Originalkurve ... blödsinn, ich kann ja gar keine Anhänge anheften.

Stell Dir vor, du hast einen Motor unter Last. Mit der Zeit (Abszisse) verändert sich die Belastung und damit die Motorleistung.

bin nu mal bis Zweie weg.

grüsse Paul
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Rekapitulieren wir doch nochmal, was oben gemacht wurde: Ich hab das mittlerweile so verstanden, dass für die im Eröffnungsbeitrag aufgelisteten 27 Stützpunkte eine Regression mit einem Polynomansatz 8.Grades durchgeführt wurde. Sieht man sich den Plot oben an, dann beobachtet man genau das, wovon ich oben schon gewarnt habe: Jede Menge Durchschwinger, d.h. lokale Extrema, die in dieser Häufung beim reinen Plot der 27 Datenwerte nicht zu beobachten sind - da sieht man eher das eben von Steffen beschriebene Verhalten.

Zitat:
Original von PanzerPaul
Bei dem Beispiel ist das anders. Da hab' ich eine schicke Kurve. Eben die Vergleichskurve.

Ich habe den Überblick verloren, worauf du jeweils Bezug nimmst. Vielleicht könntest du mal deine Bezugnahmen und Verweise etwas deutlicher gestalten. Ansonsten betrachte ich solche Sätze wie den eben als vollkommen irrelevant. unglücklich
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PanzerPaul
Stell Dir vor, du hast einen Motor unter Last. Mit der Zeit (Abszisse) verändert sich die Belastung und damit die Motorleistung.


Aber die verändert sich doch nicht unbedingt nach einer Formel! Laut Deinen Daten wird etwa zum Zeitpunkt 1,0 die Last verdoppelt und dann langsam wieder auf das alte Maß verringert. Das macht ja wohl keine Steuerung, die nach einer Formel arbeitet, die Du nun herausfinden willst. Und wenn, dann würde ich hier den exponentiellen Abklingfaktor berechnen, sonst nichts.

Vielleicht ist es ja auch ein Diagramm von einem Motor, der ein Auto antreibt. Erst mal läuft er im Leerlauf, dann wird zum Zeitpunkt 1 eingekuppelt. Zuerst gibt's da noch jede Menge Haftreibung, dann rollt's. Auch hier ist die interessierende Kurve nur das eigentliche Abklingen, also die Kraft-Zeit-Fläche.

Oder willst Du hier was ganz anderes herausfinden? Vielleicht den Zusammenhang zwischen Last und Motorleistung? Dann müsste man die entsprechenden Leistungsdaten auch noch dazunehmen.

Du siehst, hier fehlt es noch etwas an Information.
PanzerPaul Auf diesen Beitrag antworten »

@ HAL9000:

Die Daten, die ich zeigte sind ein Versuchsbeispiel von mir.
Da habe ich eine glatte Kurve ('meine Kurve') von der ich mehrere diskrete Zahlenpaare ablas. Daraus sollte wieder die ursprüngliche Kurve werden.
Das schwache Ergebnis hast Du ja freundlicherweise geplottet.
Die Daten der eigentlich von mir zu bearbeitenden Kurven habe ich nicht mitgeteilt, um das Ableseproblem auszuschalten.

@Steffen:

Es geht mir ums Rechnen, nicht um den Inhalt, der dahintersteckt.

grüsse Paul
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nach wie vor empfehle ich meinen exponentiellen Ansatz, zum Beispiel

PanzerPaul Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Steffen!

Dein Teil sieht nicht so schlecht aus. Nur der Anstieg ist zu steil und wie mir scheint unstetig. Und unter Absz. 0,8 geht es wieder bergauf!

Was ich eben nicht weiss ist, wie eine Rechnung reagiert, wenn ich nur diskrete Punkte anbiete, die eben nicht so dicht liegen. Das liegt dann an der Ablesemöglichkeik.

Sind Dir denn Grundsätze bekannt nach denen man ablesen sollte? Sind Z.B. die Wendepunkte, Hochpunkte, Tiefpunkte besonders wichtig? Oder eher Punkte abseits diese, um sozusagen die Rundungen modulieren zu können?
Ideal wären wohl kubische Splines zwischen den Stützstellen. Nur, dann hab' ich wieder nicht nur eine Formel sondern jeweils welche zwischen den Stützstellen.

Es ist zum Aus-Der-Haut-Fahren.

grüsse Paul
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Warum willst Du eigentlich partout eine Formel dafür? Ist es mathematische Neugier? Zwingt Dich jemand dazu? Ist es sicher, dass eine Formel zugrundeliegt? Was soll mit der Formel anschließend geschehen? Soll sie nur in einen Plotter gesteckt werden? Oder muss damit weitergerechnet werden, etwa eine Umkehrfunktion bestimmt werden?

Typischerweise macht man es eben so wie ich gezeigt habe: man schaut sich die Kurve qualitativ an, überlegt, wieso sie eigentlich so aussieht und nicht anders und versucht sie dann zu modellieren (modulieren ist was anderes). So kam ich halt auf die Exponentialfunktion und die Signumfunktion.

Du weißt besser als ich, welche physikalischen Dinge hinter dieser Kurve stecken, warum sie vor dem Zeitpunkt 1 anscheinend nicht konstant sein darf, mit welcher maximalen Steigung sie hochgehen darf und so weiter. Du wirst Deine Gründe haben, dies hier nicht mitzuteilen, daher kann Dir auch keiner helfen.

Eine weitere grundsätzliche Möglichkeit wäre noch die Fourieranalyse. Hier ist eine kleine Einführung: [WS] Trigonometrische Interpolation
PanzerPaul Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Steffen!


Ja, eine Formel brauche ich um weiterrechnen zu können!

Mit diskreten Werten geht das leider nicht.

Ist denn jemand im Forum, der sich zutraut aus so eine (leider nur mäßig) vermaßten Abbildung einer Kurve eine möglichst stimmige stetige Funktion zu basteln?
Ich kann zwar keinen Anhang hinzufügen, aber irgend einen weg wird sich da doch finden lassen?!

grüsse und ein schönes Wochenende

Paul
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du wirklich eine Formel brauchst, die exakt durch alle gegebenen Punkte geht, ist das natürlich mathematisch kein Problem. Ob es in der Praxis was bringt, musst Du selbst entscheiden.

So wie zwei Punkte eine Gerade, also ein Polynom erster Ordnung, beschreiben, kann durch drei Punkte ein Polynom zweiter Ordnung und eben durch siebenundzwanzig Punkte ein Polynom sechsundzwanzigster Ordnung beschrieben werden:



Das ergibt mit Deinen Werten dann dieses Gleichungssystem (draufklicken, um die Zahlen zu sehen):

[attach]45255[/attach]

Beim Auflösen könnte diese Seite hilfreich sein.

Viele Grüße
Steffen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Off-topic

Ich hoffe mal, du hast für die Erstellung der obigen Matrix in LaTeX sowas wie ein Skript verwendet. Big Laugh
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nö, nur einen ASCII-Editor mit copy/paste und "replace in selection". Bis ich das Skript geschrieben habe, hab ich's auch eingetippt. Übrigens hat das klassische LaTeX hier gestreikt, Mathjax ging aber.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Noch ein Off-topic

Derart große Formeln scheinen das Mathjax langsam an die Erträglichkeitsgrenze zu bringen: Der Browsertab friert bei jedem Aufruf, jeder Aktualisierung des Threads für mehrere Sekunden ein, und das bei einem leidlich schnellen Desktop-PC. Auf Tablet oder Smartphone sieht es vermutlich noch übler aus. Augenzwinkern
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Hast recht. Ich hab's jetzt durch ein Bilderl ersetzt.
PanzerPaul Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Steffen!

Das ist ja echt 'ne schicke Matrix!
Und AB ist auch wieder mit von der Partie. Der Gutste!

Nun, das hatte ich schon. Und schau' mal zur Kurve von IBM10111: So was schwingt so
teuflisch schockl.
Ich geb' Euch mal die links meiner zwei Sorgenkurven:

gelöscht !!

ob man die schön funtionieren kann?


Das ist ja voll ungut: jetzt hab ich duie Bilder, darf sie aber nicht posten:::
"Dein Posting beinhaltet eine URL. URLs dürfen aber nur registrierte User oder User mit ausreichend Beiträgen posten. Entferne also die URL aus deinem Post, oder registriere dich."
"Es sind zu viele Bilder in der Nachricht vorhanden."



grüsse Paul
PanzerPaul Auf diesen Beitrag antworten »

@ Steffen:


Ja, lös' mal auf und plotte das Teil. Bin schon ganz gespannt.

Paull
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich schwingt es mit achter Ordnung noch wie ein Kuhschwanz. Aber mit Ordnung 26 muss der Graph durch alle Stützstellen, da bleibt gar keine Zeit, dazwischen noch rumzutanzen.

Die Berechnung mach mal ruhig selber.
PanzerPaul Auf diesen Beitrag antworten »

@ Steffen:

Dann setz' doch man Denie schönen Zahlen wieder so wie sie war'n. Muß ich ja nicht auch noch alles abschreiben!!? Augenzwinkern

grüsse paul
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm, das sind Deine schönen Zahlen. Und die Tabelle hab ich leider gelöscht. Aber Du siehst ja das Prinzip.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Falls es immer noch um die 27 Datensätze aus dem Eröffnungsposting gehen sollte, die liefern folgende wunderschöne Interpolationsfunktion 26.Grades:

[attach]45256[/attach] [attach]45257[/attach]

Tja, ich hatte oben gewarnt. Big Laugh
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Oha. Gut, das mit dem Nicht-Rumtanzen nehm ich dann mal zurück.

Bleibt wohl wirklich nur Fourier.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Kubisches Splinepolynom sieht so aus:

[attach]45258[/attach]

Sieht vorn auch noch etwas seltsam aus, ab 1 etwas besser.
rumar Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ansätze mit Polynomfunktionen sind hier allesamt unbrauchbar. Auch ein Spline ist wegen der immer noch großen dazu erforderlichen Datenmenge unpraktisch. Von dem, was ich gesehen habe, ist bestimmt der Ansatz von Steffen Bühler mit dem Sprung und der anschließenden abklingenden Exponentialfunktion das beste.
Falls insbesondere der Sprung inhaltlich (angepasst an das Problem) nicht sinnvoll ist und auch der Anfangsbereich (zuerst leicht fallend, anschließend steil zum leicht abgerundeten Gipfel ansteigend) in der Formel abgebildet werden soll, kann man dafür sicher auch gewisse Formeln mit differenzierbaren Funktionen finden. Den einzelnen kleinen Ausreißer (0.4|0.19) würde ich dabei ignorieren.
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
Spline
Nur eine Bemerkung:

Der Ausdruck "kubisches Splinepolynom" ist ziemlich irreführend. Es handelt sich um eine Spline-Funktion, welche aus vielen kubischen Einzelfunktionen "zusammengestückelt" ist.
PanzerPaul Auf diesen Beitrag antworten »

@ IBM 10111:

Moin, HAL!

Sieht ganz gut aus Deine Sprungschanze (betr.: kubisches Splinepolynom)!
Hab' das Teil gerade mit der Ausgangskurve verglichen. Scheint recht brauchbar!

Wie hast Du das denn hingekriegt?
Mit welchem Prog. hast Du denn da gearbeitet?
Kann ich mal das Polynom sehen?

Bin schon ganz gespannt!


grüsse Paul
PanzerPaul Auf diesen Beitrag antworten »

@ HAL 9000:


Nachtrag:


Kannste das mal mit diesen Zahlen versuchen?

0.03 0.1
0.1 0.17
0.2 0.24
0.3 0.3
.4 .345
0,5 0.37
.6 .385
.7 .39
.8 .415
.9 .43
1 0.45
1,2 0.52

grüsse
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Einführung in Splines findest Du hier.

Mit Fourier geht's auch ganz gut, ab etwa 10 Harmonischen wäre die Funktion in etwa angenähert (rot sind 5, blau 10, schwarz 20 Harmonische):

[attach]45263[/attach]

Viele Grüße
Steffen
PanzerPaul Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL9000:

Poste doch mal bitte deine Funktionen.

@ Steffen:

Poste auch Du mal bitte Deine Funktionen. An welchen Stellen sollte man vornehmlich Zahlenpaare erheben und wo tunlichst nicht? Kannst Du da Regeln?

grüsse Paul
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist hier in einem Nachhilfeforum gelandet. Wir zeigen Dir gern, wie man mit Splines und Fourier grundsätzlich arbeitet, aber rechnen musst Du schon selber.
PanzerPaul Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann gibts auch keine Daten!

servus
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