Indiskrete Topologie, T_3 und T_4 Raum

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Hausdorff123 Auf diesen Beitrag antworten »
Indiskrete Topologie, T_3 und T_4 Raum
Meine Frage:
Hallo, ich gehe gerade die Trennungsaxiome durch:

mein 1. Problem ist: wieso folgt aus T_3 oder T_4 nicht, dass T_1 oder T_2 gilt?

Meine Ideen:
zu 1. ich glaube, es ist der falsche Ansatz davon auszugehen, dass ich die Eigenschaften von abgeschlossenen Mengen auf Punkte folgern kann. Bekomme trotzdem nicht raus, wie das intuitiv gehen soll. Ich stehe,da iwie aufm Schlauch.

habe dazu eine Lösungsansatz gefunden, wieso meine Implikationen nicht stimmen können, z.B. mit der indiskreten Topology: der Raum (X,T) ist nicht T_1, aber T_3 und T_4.

T_1 ist mir klar, da kann ich 2 disjunkte Punkte weder durch X noch durch die leere Menge trennen, da X beide ja enthält und bei der leeren Menge keine Punkte enthalten sind.

T_4 ist mir fast klar :
leere Menge und die Grundmenge X sind zugleich offen und abgeschlossen, aber warum gibt es keine kleinere Untermenge von X, die abgeschlossen ist: z.B. einelementige Mengen? Wieso sind X und die leere Menge die einzigen abgeschlossenen Untermengen von X?

Bei T_3 verstehe ich nicht, wie ich eine abgeschlossene Menge und einen Punkt trennen soll, denn wenn X die einzige abgeschlossene Menge ist und durch X getrennt wird, was passiert mit dem Punkt bzw gibt es überhaupt einen Punkt den man trennt? Zumindest dachte ich, dass man mindestens einen Punkt trennen muss. Heißt das, wenn es keinen Punkt gibt, dann wird " kein Punkt durch die leere Menge " getrennt?


Tut mir Leid, dass es soviel Text geworden ist.
Hausdorff123 Auf diesen Beitrag antworten »
indiskrete Topologie, T_3 und T_4 Raum
ich meinte natürlich nicht disjunkte Punkte, sondern unterschiedliche
(disjoint vs. distinct)
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: indiskrete Topologie, T_3 und T_4 Raum
Zitat:
Original von Hausdorff123
habe dazu eine Lösungsansatz gefunden, wieso meine Implikationen nicht stimmen können, z.B. mit der indiskreten Topology: der Raum (X,T) ist nicht T_1, aber T_3 und T_4.

[..]
T_4 ist mir fast klar :
leere Menge und die Grundmenge X sind zugleich offen und abgeschlossen, aber warum gibt es keine kleinere Untermenge von X, die abgeschlossen ist: z.B. einelementige Mengen? Wieso sind X und die leere Menge die einzigen abgeschlossenen Untermengen von X?


Du hast doch den Raum genau so gewählt, dass die Topologie keine weiteren Mengen enthält.
Hausdorff123 Auf diesen Beitrag antworten »
indiskrete Topologie, T_3 und T_4 Raum
Stimmt, ich habe ja nur 2 Mengen, in denen ich mich bewege oder?


wie sieht es damit aus? :

Bei T_3 verstehe ich nicht, wie ich eine abgeschlossene Menge und einen Punkt trennen soll, denn wenn X die einzige abgeschlossene Menge ist und durch X getrennt wird, was passiert mit dem Punkt bzw gibt es überhaupt einen Punkt den man trennt? Zumindest dachte ich, dass man mindestens einen Punkt trennen muss. Heißt das, wenn es keinen Punkt gibt, dann wird " kein Punkt durch die leere Menge " getrennt?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: indiskrete Topologie, T_3 und T_4 Raum
Du musst nachweisen: Für alle und abgeschlossen mit gilt: Es gibt offen mit und .

Fall 1: Sei . Dann finde das .

Fall 2: Sei . Dann existiert kein mit . D.h. hier ist nichts nachzuweisen.
Hausdorff123 Auf diesen Beitrag antworten »
indiskrete Topologie, T_3 und T_4 Raum
bei meiner Definition für T_3 können Punkte und abgeschlossene Mengen durch disjunkte offene Mengen getrennt werden.

für die indiskrete Topologie wäre für

Fall 1: die leere Menge ist die offene Menge für A und X ist die offene Menge für den Punkt x


Fall 2: X ist zugleich offen und abgeschlossen, also eine offene Menge für sich selbst und wenn es sonst keine Punkte gibt, "trennt man diese mit der Leeren Menge".
Und dadurch ist der indiskrete Raum T_3.


Stimmt das so?
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: indiskrete Topologie, T_3 und T_4 Raum
Ehm ja. Deine Definition ist richtig. Topologie ist bei mir eine ganze Weile her.

1) Stimmt.
2) Finde ich nicht so gut. Du versuchst Sachen zu trennen, die nicht existieren. Daher ist es sauberer zu argumentieren, dass es nichts zu zeigen gibt, als so zu tun als ob es sie gäbe und versuchen sich etwas zusammen zu basteln.
Hausdorff123 Auf diesen Beitrag antworten »
indiskrete Topologie, T_3 und T_4 Raum
Vielen, vielen Dank Tanzen Freude

Kennst Du vielleicht Räume, die T_4 sind, aber nicht T_3? Und Räume, die nur T_2 sind? Bzw nur T_1 und nur T_3?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Indiskrete Topologie, T_3 und T_4 Raum
Spontan nein. Ich habe aber ein bisschen gegooglet. In 4.2 sind jede Menge Beispiele gegeben, aber wohl nicht, die die du willst. Davor sind Beweise. So impliziert immer . Und sobald und gilt, gilt (trivialerweise). Also es gilt "nur" ein ist immer sehr kritisch.
Hausdorff123 Auf diesen Beitrag antworten »
Indiskrete Topologie, T_3 und T_4 Raum
okay, vielen Dank. ist vielleicht doch zu exotisch für Funktionalanalysis ? verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Indiskrete Topologie, T_3 und T_4 Raum
In der Analysis habe ich wenigstens noch nie Räume ohne angetroffen. Darauf kann man keine (vernünftige) Analysis betreiben. Und aller meistens hat man auch eine Metrik, und der Raum ist vollständig. Damit hat man einen Raum, der so ziemlich alle Trennungsaxiome erfüllt (oder sogar alle).
Hausdorff123 Auf diesen Beitrag antworten »
Indiskrete Topologie, T_3 und T_4 Raum
ich habe ein anderes Beispiel gefunden, der kofinte Raum.
Ich verstehe nicht, wie ich da T_1 beweisen soll.
also ich habe 2 voneinander unterschiedliche Punkte. diese sollen durch eine offene Menge getrennt werden, wobei der andere Punkt nicht in der offenen Menge ist.
wie soll das gehen mit dieser Topologie?


die topologie: In ihr sind genau die Mengen offen, deren Komplemente endlich oder die selbst leer sind.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Indiskrete Topologie, T_3 und T_4 Raum
T_1 ist recht einfach. T_2 ist verletzt. Ist dir der Unterschied zwischen den beiden klar? Wenn du "trennen" schreibst, verstehe ich naemlich eher T_2 darunter.
Hausdorff123 Auf diesen Beitrag antworten »
Indiskrete Topologie, T_3 und T_4 Raum
Mit T_1 meine ich, dass Punkte mit einer offenen Menge getrennt werden können.
Bei T_2 können 2 Punkte durch disjunkte offene Mengen getrennt werden.(Defintion ausm Skript).

ich komme nicht mit T_1 klar. wie finde ich einen offene Menge, mich verwirrt die Eigenschaft iwie?

T_2 hab ich noch nicht für diesen Raum angeschaut, weiß aber, wenn die Grundmenge unendlich ist, ist der Raum nicht T_2, keine Ahnung warum? Heißt das etwa es ist T_2 für endliche X?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Indiskrete Topologie, T_3 und T_4 Raum
Zu T_1. Seien die Punkte. Nimm jetzt einfach ganz viel zur Menge dazu, mit Ausnahme von natuerlich. Wenn du alle bis auf endlich viele Punkte hinzugenommen hast, ist die Menge. Und das ist die, die du fuer willst.
Hausdorff123 Auf diesen Beitrag antworten »
Indiskrete Topologie, T_3 und T_4 Raum
Das heißt, das ist schon mein O (offene Menge)? ist denn dann das Komplement endlich? Was sagt mir das über X aus (endlich, unemdlich)?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Indiskrete Topologie, T_3 und T_4 Raum
Also ? Nein. Ich meinte wenn du "genug" zur Menge dazu genommen hast. War vielleicht etwas unguenstig formuliert. Finde eine extrem grosse Menge, die x enthaelt, aber nicht y. Im Notfall, nimm einfach alles dazu, was nicht gerade y ist.

Und das sagt dir erst einmal nichts ueber endlich/unendlich aus.
Hausdorff123 Auf diesen Beitrag antworten »
Indiskrete Topologie, T_3 und T_4 Raum
okay, also es entsteht eine Menge, in der x enthalten ist, mit endlich vielen Elementen, wobei y nicht dabei ist. Wie finde ich jetzt O, deren Komplement endlich ist?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Indiskrete Topologie, T_3 und T_4 Raum
Jetzt hast du . Wenn das Komplement noch unendlich Elemente enthält, nimmst du einfach diese noch dazu. Irgendwann sind es nur noch endlich viele. Oder kurz und schmerzlos erfüllt es.
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