Funktionsschar

05.09.2017, 04:01

user185

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Funktionsschar

Es sei $\begin{eqnarray*} P_{c}(c|f(c)) \end{eqnarray*}$ ein Punkt auf dem Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} f_{1} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} c > 0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Dann sei $\begin{eqnarray*} b(c) \end{eqnarray*}$ der y-Achsenabschnitt der Tangente $\begin{eqnarray*} g_{c} \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} P_{c} \end{eqnarray*}$ , an den Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} f_{1} \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .

(1) Zeigen Sie: Es gilt $\begin{eqnarray*} b(c)= f_{1}(c)-c\cdot f'_{1}(c) \end{eqnarray*}$ .

(2) Begründen Sie nun: Es gilt $\begin{eqnarray*} b(c)=(c^{2}+c+1) \cdot e^{-c} \end{eqnarray*}$

(3) Ermitteln Sie die Koordinaten aller Punkte $\begin{eqnarray*} P_{c} \end{eqnarray*}$ auf dem Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} f_{1} \end{eqnarray*}$ , so dass der y-Achsenabschnitt $\begin{eqnarray*} b(c) \end{eqnarray*}$ der Tangente $\begin{eqnarray*} g_{c} \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} P_{c} \end{eqnarray*}$ an den Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} f_{1} \end{eqnarray*}$ maximal wird.

$\begin{eqnarray*} f_{a}(x)=(x+a) \cdot e^{-ax} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_{a}(x)=(1-a^{2}) \cdot e^{-ax} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''_{a}(x)=(-2a+a^{3}+a^{2}x) \cdot e^{-ax} \end{eqnarray*}$

bei (1) vermute ich, dass die Rechnung einfach durchgeführt werden muss, wie sie in der Formel steht...
Könnt ihr mir bitte helfen, ich verzweifle daran....

05.09.2017, 10:19

user185

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Ihr braucht nicht , meine schon geklärte Frage zu den Nullstellen zu beantworten..
Diese hat für mich Vorrang "Funktionsschar Aufgabe"
Wäre euch wirklich sehr dankbar, wenn ihr mir hilfreiche Antworten geben würdet smile

smile

05.09.2017, 10:51

Huggy

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RE: Funktionsschar Aufgabe

Zitat:

Original von user185
bei (1) vermute ich, dass die Rechnung einfach durchgeführt werden muss, wie sie in der Formel steht....

Da sollst du die angegebene Formel herleiten. Dazu stellst du die Tangentengleichung im Punkt $\begin{eqnarray*} (c,f_1(c)) \end{eqnarray*}$ auf und ermittelst, wo die Tangente die y-Achse schneidet.

05.09.2017, 11:28

user185

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RE: Funktionsschar Aufgabe
und wie mache ich (2)??

05.09.2017, 11:33

HAL 9000

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Du setzt das konkret gegebene $\begin{align*} f_1 \end{align*}$ sowie das daraus berechnete $\begin{align*} f_1' \end{align*}$ in die soeben gezeigte Gleichung (1) ein.

Da ist übrigens oben ein Fehler: Es ist $\begin{align*} f_a'(x)= (1-a^2{\color{red}-ax})\cdot e^{-ax} \end{align*}$ .

05.09.2017, 11:53

user185

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Das weiß ich, aber muss man dann nicht 0 einsetzen für x?

Und wie macht man konkret 2??? Wieso was begründen, was schon feststeht lol

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05.09.2017, 12:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von user185
Das weiß ich, aber muss man dann nicht 0 einsetzen für x? Und wie macht man konkret 2???

Du hast die Formeln für $\begin{align*} f_a(x) \end{align*}$ und $\begin{align*} f_a'(x) \end{align*}$ und benötigst $\begin{align*} f_1(c) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} f_1'(c) \end{align*}$ für Formel (1).

Das bedeutet $\begin{align*} a=1 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} x=c \end{align*}$ in die Formeln von $\begin{align*} f_a(x) \end{align*}$ und $\begin{align*} f_a'(x) \end{align*}$ einsetzen! Hast du denn überhaupt keinen blassen Schimmer, was "einsetzen" bedeutet? unglücklich

unglücklich

$\begin{align*} f_1(c) &= (c+1)\cdot e^{-1\cdot c} = (c+1)\cdot e^{-c}<br /> f_1'(c) &= (1-1^2-1\cdot c)\cdot e^{-1\cdot c} = -c\cdot e^{-c} \end{align*}$

05.09.2017, 13:14

user185

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Ich meine diese Teilaufgabe : (2) Begründen Sie nun: Es gilt $\begin{eqnarray*} b(c)=(c^{2}+c+1) \cdot e^{-c} \end{eqnarray*}$

05.09.2017, 13:17

user185

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RE: Funktionsschar Aufgabe
Wieso muss man für a auch noch den y-Abschnitt ermitteln?

05.09.2017, 13:21

Huggy

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Zitat:

Ich meine diese Teilaufgabe : (2) Begründen Sie nun: Es gilt $\begin{eqnarray*} b(c)=(c^{2}+c+1) \cdot e^{-c} \end{eqnarray*}$

Genau darauf bezieht sich doch die Antwort von HAL. Du hast bei (1) eine Formel für $\begin{eqnarray*} b(c) \end{eqnarray*}$ . In diese Formel ist nun $\begin{eqnarray*} f_1(c) \end{eqnarray*}$ einzusetzen und dann sollte die Formel bei (2) herauskommen.

05.09.2017, 13:26

user185

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Was ist eigentlich der Unterschied zwischen den beiden Aufgaben lol

05.09.2017, 13:34

IfindU

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Kann es sein, dass du die Formel (2) bereits hergeleitet hast, weil du bei (1) nicht sehr abstrakt gerechnet hast?

05.09.2017, 13:34

Huggy

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(1) gilt für beliebige Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ , nicht nur für die spezielle Funktion $\begin{eqnarray*} f_1(x) \end{eqnarray*}$ . (2) gilt nur für diese spezielle Funktion.

Statt nur Fragen zu stellen, solltest du auch mal etwas machen und dein Ergebnis mitteilen. Ohne das bleibt unklar, was du verstanden und nachvollzogen hast und was nicht!

05.09.2017, 13:42

user185

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(1) Zeigen Sie: Es gilt $\begin{eqnarray*} b(c)= f_{1}(c)-c\cdot f'_{1}(c) \end{eqnarray*}$ .

Und wieso steht da f1(x)??

05.09.2017, 13:48

Huggy

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In der Aufgabe steht da nur $\begin{eqnarray*} f_1(c) \end{eqnarray*}$ . Weshalb weiß ich auch nicht. Der Beweis gilt jedenfalls für beliebige funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Differenzierbar müssen sie natürlich sein.

05.09.2017, 14:43

user185

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In der Aufgabe steht $\begin{eqnarray*} b(c)= f_{1}(c)-c\cdot f'_{1}(c) \end{eqnarray*}$ .

05.09.2017, 17:19

HAL 9000

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Eine äußerst zähe Kommunikation: Alle Versuche prallen ab und enden irgendwie in gebetsmühlenhaften Wiederholungen von Formeln der Aufgabenstellung ... vielleicht sind auch einfach drei Köche zuviel, ich überlasse den beiden anderen das Feld. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.09.2017, 02:03

user185

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Frage immer noch nicht gelöst!

06.09.2017, 03:51

user185

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zu 1 hab ich einen Ansatz y= mx +b = f(c) = f'(0)*c+b(c) |-b(c)
<=> f(c) - b(c) = f'(0)*c |-f(c)
<=> -b(c) = -f(c)+f'(0)*c |*(-1)
<=> b(c) = f(c)-f'(0)*c

So fehlt da was, gibt es was zu verbessern?
Und wie funktioniert die Aufgabe 2, wo man das begründen muss.

zu 3 hab ich den Ansatz b(0) und b'(x)=0 => 0(bei jeweils beiden);1 UND dann jeweils einsetzen in b(x)

Hoffe du kannst mir insbesondere bei 2 weiterhelfen, aber auch bei meinen anderen Ansätzen. smile

smile

06.09.2017, 10:28

Huggy

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Deine Rechnung ist Unfug. Sie führt doch gar nicht zu der zu beweisenden Formel. Wo in der zu beweisenden Formel $\begin{eqnarray*} f'(c) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f'_1(c) \end{eqnarray*}$ steht, steht bei dir $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ . Mir fehlt inzwischen auch die Geduld, dich über Hilfestellungen zur Lösung zu führen. Ich schreibe deshalb einfach eine Lösung zu (1) auf und zwar ganz ausführlich.

Man hat eine beliebige differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Gesucht ist zunächst die Gleichung der Tangente an die Funktion im Punkt $\begin{eqnarray*} (c,f(c)) \end{eqnarray*}$ . Die Tangente in diesem Punkt hat die Steigung $\begin{eqnarray*} f'(c) \end{eqnarray*}$ . Da man einen Punkt und die Steigung der Tangente kennt, braucht man für die Tangentengleichung die Punkt-Steigungsform der Geradengleichung. Diese lautet

$\begin{eqnarray*} \frac {y-y_0}{x-x_0}=m \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ der gegeben Punkt und $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ die gebene Steigung. Man setzt daher ein $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0) \to (c, f(c)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m \to f'(c) \end{eqnarray*}$ und erhält:

$\begin{eqnarray*} \frac {y-f(c)}{x-c}=f'(c) \end{eqnarray*}$

Aufgelöst nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ erhält man:

$\begin{eqnarray*} y=f'(c)x+f(c)-cf'(c) \end{eqnarray*}$

Der Vergleich mit der Steigungs-y-Achsenabschnittsform der Geradengleichung

$\begin{eqnarray*} y=mx+b \end{eqnarray*}$

mit y-Achsenabschnitt $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ zeigt:

$\begin{eqnarray*} b=b(c)=f(c)-cf'(c) \end{eqnarray*}$

Das stimmt nun mit der beweisenden Formel überein. Und da außer Differenzierbarkeit nichts über $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt wurde, gilt das auch für die Funktion $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} b(c)=f_1(c)-cf'_1(c) \end{eqnarray*}$

Für (2) musst du nun in diese Formel, da wo $\begin{eqnarray*} f_1(c) \end{eqnarray*}$ steht, den konkreten Ausdruck für $\begin{eqnarray*} f_1(c) \end{eqnarray*}$ einsetzen und da wo $\begin{eqnarray*} f'_1(c) \end{eqnarray*}$ steht, den konkreten Ausdruck für $\begin{eqnarray*} f'_1(c) \end{eqnarray*}$ . Was ergibt sich bei

$\begin{eqnarray*} f_1(c)= ??? \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f'_1(c)= ??? \end{eqnarray*}$

für die Fragezeichen? Und was ergibt sich anschließend für $\begin{eqnarray*} b(c) \end{eqnarray*}$ ?

06.09.2017, 14:20

user185

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Habs doch ungefähr genauso gemacht...
Soviel zum Thema Unfug

bei nr 1 hab ich es fast genauso gemacht....

Bei Nr 2 kommt f1(c)= (1+c)*e^-ac
f1'(c)= (2)*e^-ac

b(c) f1(x)-c*f'(c) = (1+c)*e^-ac-(2*e^-ac)*c
(1+c)*e^-ac-2ce^-ac
1e^-ac+ce^-ac-2ce^-ac
e^-ac-ce^-ac
e^-ac(1-c)

06.09.2017, 14:53

HAL 9000

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Wenn du so gründlich die Beiträge liest, wo diese Zwischenresultate schon längst mal richtig vorgerechnet wurden

Zitat:

Original von HAL 9000
Das bedeutet $\begin{align*} a=1 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} x=c \end{align*}$ in die Formeln von $\begin{align*} f_a(x) \end{align*}$ und $\begin{align*} f_a'(x) \end{align*}$ einsetzen! [...]

$\begin{align*} f_1(c) &= (c+1)\cdot e^{-1\cdot c} = (c+1)\cdot e^{-c}<br /> f_1'(c) &= (1-1^2-1\cdot c)\cdot e^{-1\cdot c} = -c\cdot e^{-c} \end{align*}$

, musst du dich nicht wundern, dass die Leute entnervt abspringen. unglücklich

unglücklich

06.09.2017, 14:55

user185

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f1(c) = (c+1)e^-C
f'1(c)= (-ce^-c)*c

b(c) = (c+1)*e^-c-(-ce^-c)*c
= ce^-c+e^-c*(ce^-c)*c
= e^-c(c+1+c^2)

Richtig

Und was 3 angeht bitte prüfe meinen Ansatz, hatte da immerhin 3 von 4 Punkte..

Wenn man bei b'(c) = 0 x1= 0 x2=1 raushat , dann einfach einsetzen in b(c) und man hat das raus?

06.09.2017, 15:05

HAL 9000

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Ich sehe keinen Ansatz, sondern nur verwirrende, extrem sparsam oder gar nicht kommentierte Terme/Gleichungen:

Zitat:

zu 3 hab ich den Ansatz b(0) und b'(x)=0 => 0(bei jeweils beiden);1

Stell dir einfach mal einen Moment vor, die Helfer würden auch in diesem Stil antworten. Aber wahrscheinlich haben Fragesteller wie du schon die vollkommen asymmetrische Wahrnehmung, dass sie diesen Stil pflegen dürfen, die Helfer aber nicht. unglücklich

unglücklich

06.09.2017, 16:49

Huggy

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Zitat:

Original von user185
Habs doch ungefähr genauso gemacht...
Soviel zum Thema Unfug

Ach so!
Da hatte ich nicht bedacht, dass vom Jupiter aus gesehen, Berlin ungefähr die Hauptstadt von China ist.

Zitat:

Original von user185
Und was 3 angeht bitte prüfe meinen Ansatz, hatte da immerhin 3 von 4 Punkte..

Bei der Punktvergabe ist es völlig unnötig, dass du hier im Forum Fragen stellst. Offenbar ist bei deinem Lehrer alles ungefähr richtig.

07.09.2017, 03:28

user185

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Ok , tut mir ja leid.....

Es wäre nett, wenn du mir folge Frage nur zu 1) beantworten könntest:

Muss man umbedingt die Differenzierbarkeit, wie sie am Anfang steht nachweisen.

Ich beziehe mich auf diesen Teil
$\begin{eqnarray*} \frac {y-y_0}{x-x_0}=m \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ der gegeben Punkt und $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ die gebene Steigung. Man setzt daher ein $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0) \to (c, f(c)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m \to f'(c) \end{eqnarray*}$ und erhält:

$\begin{eqnarray*} \frac {y-f(c)}{x-c}=f'(c) \end{eqnarray*}$

Aufgelöst nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ erhält man:

$\begin{eqnarray*} y=f'(c)x+f(c)-cf'(c) \end{eqnarray*}$

07.09.2017, 03:50

user185

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Tut mir sehr leid, aber ich konnte diesen Beitrag nicht mehr bearbeiten, deswegen wollte ich zu der vorherigen Frage hinzufügen, ob f'(c)*x richtig ist, oder es f'(c)*c heißen müsste oder f(x)*x..

Bitte nicht sauer werden ):

07.09.2017, 08:25

Huggy

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Zitat:

Original von user185
Muss man umbedingt die Differenzierbarkeit, wie sie am Anfang steht nachweisen.

Die Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ muss man nicht nachweisen. Die wird vorausgesetzt, sonst könnte man ja die Ableitung gar nicht bilden. Und die konkrete Funktion $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ ist auch differenzierbar.

Zitat:

Tut mir sehr leid, aber ich konnte diesen Beitrag nicht mehr bearbeiten, deswegen wollte ich zu der vorherigen Frage hinzufügen, ob f'(c)*x richtig ist, oder es f'(c)*c heißen müsste oder f(x)*x..

In der nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aufgelösten Tangentengleichung steht beides exakt so, wie ich es hingeschrieben habe:

$\begin{eqnarray*} y=f'(c)x+f(c)-cf'(c) \end{eqnarray*}$

Hast du nicht mal versucht, die Umformung, die zu dieser Gleichung führt, nachzuvollziehen?

07.09.2017, 12:06

user185

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Ja, insofern, dass unter f(c) die Variable c steht.

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