Differentialgleichung 2. Ordnung mittels Koeffizientenvergleichs

05.09.2017, 10:20

Nooby203

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Differentialgleichung 2. Ordnung mittels Koeffizientenvergleichs

Meine Frage:
In der Vorbereitung auf meine Matheklausur muss ich mich gerade mit folgender Aufgabe auseinandersetzen :

Vorgegeben ist das Anfangswertproblem der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung :

y''(x) -2y(x) = 1 ,a_0= y(0)=1, a_1=y'(0)=0

(a) Geben Sie die Lösung des Anfangswertproblems in Form der Taylorentwicklung P(x,0) der Funktion y im Entwicklungspunkt y=0 an !

Verwerden Sie hierbei die Methode des Koeffizientenvergleichs !

Meine Ideen:
Folgendes habe ich bis jetzt getan :

y'' = \sum\limits_{n=0}^{\infty } n* (n-1) c_n x^{n-2}

y = \sum\limits_{n=0}^{\infty } c_n x^{n}

0 = y'' -2y

0 = \sum\limits_{n=2}^{\infty } n(n-1) c_n x^{n-2} - \sum\limits_{n=0}^{\infty }2c_n x^n

\sum\limits_{n=0}^{\infty } (n+2) ( n+1) c_n + 2^{x^n}-\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2 Cn x^n

2 c_2 = 2c_0

c_2 = c_0

Nun weiß ich nicht aber nicht, wie ich weiter machen soll.

Jemand eine Idee, wie ich die Aufgabe zu Ende bringen muss ?

Stimmen denn meine Überlegungen bis hier her ?

05.09.2017, 10:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Nooby203
0 = y'' -2y

Nein, laut obiger Angabe ist es $\begin{align*} {\color{red}1} = y''-2y \end{align*}$ , und damit

$\begin{align*} 1 = \sum_{n=0}^{\infty} ((n+2)(n+1)c_{n+2}-2c_n)x^n \end{align*}$

was zu

$\begin{align*} 1 &= 2c_2-2c_0<br /> 0 &= (n+2)(n+1)c_{n+2}-2c_n \quad\mbox{für}\; n\geq 1 \end{align*}$

führt.

P.S.: Die verheerende Wirkung vergessener bzw. falsch gesetzter Klammern kann man hier beobachten:

Zitat:

Original von Nooby203
\sum\limits_{n=0}^{\infty } (n+2) ( n+1) c_n + 2^{x^n}-\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2 Cn x^n

In LaTeX: $\begin{align*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } (n+2) ( n+1) c_n + 2^{x^n}-\sum\limits_{n=0}^{\infty} 2 Cn x^n \end{align*}$ unglücklich

unglücklich

12.09.2017, 11:40

keschnei

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Hallo, ich habe mit der selben Aufgabe zu kämpfen.

Ich habe mir mal die Mühe gemacht, die einzelnen Koeffizienten auszurechnen :

c_0 = 1
c_1= 0
c_2 = 3/2
c_3 = 0
c_4 = 1/4
c_5= 0
c_6 = 1/15
c_7=0
c_8 = 1/540

Wie komme ich aber jetzt auf die allgemeine Bildungsvorschrift ?
Das einzige, was sich mir erschließt, ist, dass jedes ungerade Glied 0 ist.

12.09.2017, 11:51

HAL 9000

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Ich komme bei $\begin{align*} c_6 \end{align*}$ und $\begin{align*} c_8 \end{align*}$ auf was anderes. unglücklich

unglücklich

12.09.2017, 12:05

keschnei

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c_6 = 1/60
c_8= 1/1680

sorry.

12.09.2017, 12:38

HAL 9000

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Multipliziere einfach mal diese $\begin{align*} c_n \end{align*}$ jeweils mit $\begin{align*} n! \end{align*}$ , dann kommt dir vielleicht eine Idee.

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12.09.2017, 13:54

IfindU

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Vielleicht noch ein Hinweis. $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ ist speziell und sollte erst einmal aussen vor gelassen werden. Ich habe viel zu lange versucht ein einfaches Muster in $\begin{eqnarray*} 1, 3,6, 12,... \end{eqnarray*}$ zu finden Big Laugh

Big Laugh

12.09.2017, 14:26

keschnei

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ich komme mir langsam vor, wie der größte Honk .....

Ich habe jetzt nur mal mit
n = 2
n = 4
n = 6
gespielt und da ergibt sich das :

$\begin{eqnarray*} ( n = 6) : \frac{1}{1680} *n! = \frac{3}{7}<br /> ( n = 4) : \frac{1}{60} *n! = \frac{2}{5}<br /> ( n = 2) : \frac{1}{4} *n! = \frac{1}{2}<br /> \end{eqnarray*}$
Klar ist also, dass über dem Bruchstrich immer $\begin{eqnarray*} <br /> \frac{n}{2}<br /> \end{eqnarray*}$
und unter dem Bruchstrich immer
$\begin{eqnarray*} <br /> n-1<br /> \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac {\frac{n}{2}}{n-1}<br /> \end{eqnarray*}$
steht.
Aber eine Bildungsvorschrifr, die ich danach auf Konvergenz untersuchen kann, ersehe ich da trotzdem noch nicht.
Zumal wir ja gerade nur an allen geraden Koeffizienten arbeiten.

Falls ich gerade den Wald vor Bäumen nicht mehr sehe, bitte ich das zu entschudligen.

12.09.2017, 14:30

IfindU

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Du hast wohl einige Indizes durcheinander gebracht. Bei $\begin{eqnarray*} n =2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} n! c_n = 2! \cdot c_2 = 2 \cdot \frac 3 2 = 3 \end{eqnarray*}$ .

12.09.2017, 14:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von IfindU
Vielleicht noch ein Hinweis. $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ ist speziell und sollte erst einmal aussen vor gelassen werden.

Ja, $\begin{align*} c_0 \end{align*}$ ist ein Ausnahmefall. Sieht man ja auch daran, dass dort der Übergang zu $\begin{align*} c_2 \end{align*}$ strukturell eine abweichende Rekursionsgleichung hat als die späteren von $\begin{align*} c_2 \end{align*}$ zu $\begin{align*} c_4 \end{align*}$ usw.

12.09.2017, 14:45

keschnei

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[latex] n\geq 1 [\latex] gilt ja :
[latex] C_{n+2} = \frac{C_n}{(n+2)*(n+1)} [\latex]

heißt, für meinen 4. Koeffizienten muss n = 2 sein.!?

12.09.2017, 14:49

HAL 9000

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Faktor 2 im Zähler nicht vergessen, es ist $\begin{align*} c_{n+2} = \frac{2c_n}{(n+1)(n+2)} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq 1 \end{align*}$ .

Und ja na klar, um $\begin{align*} c_4 \end{align*}$ aus $\begin{align*} c_2 \end{align*}$ zu berechnen, setzt du $\begin{align*} n=2 \end{align*}$ in diese Rekursionsgleichung ein.

13.09.2017, 12:31

keschnei

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Ich habe jetzt mal versucht, die Potenzreihe um den Entwicklungspunkt zu bestimmen :

$\begin{eqnarray*} <br /> P(x,0)=1*x^0+1*\frac{3}{2} *x^2+1*\frac{3}{2}*\frac{1}{6}x^4+1*\frac{3}{2}*\frac{1}{6}*\frac{1}{15}*x^6<br /> <br /> c_2n = \frac{1}{6+15+28+45} *x^......<br /> \end{eqnarray*}$

Sorry, aber für mich ist da immernoch kein Muster erkennbar.

13.09.2017, 12:34

IfindU

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Ausgehend von deiner Tabelle (mit uebernommenen Verbessernung)

Zitat:

Original von keschnei
c_0 = 1
c_1= 0
c_2 = 3/2
c_3 = 0
c_4 = 1/4
c_5= 0
c_6 = 1/60
c_7=0
c_8 = 1/1680
.

Sollte es nun wirklich nicht schwierig sein $\begin{eqnarray*} n! c_n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n =2,4,6,8 \end{eqnarray*}$ auszurechnen.

13.09.2017, 13:05

keschnei

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Das habe ich probiert...

n = 2 : 3
n= 4 : 6
n= 6 : 12
n=8 : 24
verwirrt

verwirrt

13.09.2017, 13:08

IfindU

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Und die nächsten wären 48, 96, 192, ...

Wenn du es immer noch nicht siehst, berechne den Quotienten zweier aufeinanderfolgenden Zahlen dieser neuen Folge.

13.09.2017, 14:50

keschnei

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Dass sich das verdoppelt, erschließt sich mir auch.
Aber wenn ich jetzt versuche, damit eine Bildungsvorschrift zu bilden, passiert das :
$\begin{eqnarray*} <br /> n= 2 : \frac{3}{2} =\frac{n+1}{n!} <br /> n = 4 : \frac{1}{4} = \frac{2n}{n!} <br /> n = 6 : \frac{1}{60} = \frac{2n}{n!} <br /> n = 8: \frac{1}{1680} = \frac{3n}{n!} \end{eqnarray*}$

13.09.2017, 15:32

HAL 9000

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Auf die Formel zu kommen war wesentlich einfacher, als deine merkwürdigen Gedankengänge nachzuvollziehen. Ich beende daher das Rätselraten: Aus den genannten Eigenschaften ergibt sich $\begin{align*} c_{2k} \cdot (2k)! = 3\cdot 2^{k-1} \end{align*}$ , umgestellt zu $\begin{align*} c_{2k} = \frac{3\cdot 2^{k-1}}{(2k)!} \end{align*}$ , gültig für $\begin{align*} k\geq 1 \end{align*}$ (d.h. nicht für k=0).

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