Wie beweise ich die Stetigkeit dieser Funktionen?

Neue Frage »

Saturnight Auf diesen Beitrag antworten »
Wie beweise ich die Stetigkeit dieser Funktionen?
Meine Frage:
Hallo zusammen! smile
Ich soll die Stetigkeit folgender Funktionen an der Stelle beweisen:

a)

und

b)

Sorry, weiß nicht wie ich das anders darstellen soll, aber ich denke mal man erkennt es.
Vielen Dank für eure Hilfe.

Meine Ideen:
Ich muss als erstes ja beweisen ob der Funktionswert an der Stelle existiert und dazu setze ich die 2 in die Funktion -3 für x ein, oder?
Bei dem zweiten Schritt bin ich mir nicht so sicher, ich würde den lim der Funktion ausrechnen und bei beiden Funktionen deswegen 2 für x einsetzen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst sicher



Saturnight Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ganau! Danke dir. Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Übrigens lautet die Aufgabenstellung sicher nicht so, dass du in beiden Fällen a) und b) Stetigkeit nachweisen sollst - dazu müssten ja beide erstmal stetig sein... Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

siehe auch die Datei im Anhang
Saturnight Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, stimmt. Big Laugh Ich soll sie auf Stetigkeit untersuchen.
Entschuldigung
 
 
Saturnight Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie untersuche ich diese Funktionen nun auf Stetigkeit? Waren meine Denkansätze richtig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Saturnight
Ich muss als erstes ja beweisen ob der Funktionswert an der Stelle existiert und dazu setze ich die 2 in die Funktion -3 für x ein, oder?

"Beweisen ob der Funktionswert existiert" ist etwas hochtrabend formuliert. "Funktionswert ausrechnen" trifft es wohl eher, und ja, das wird natürlich so gemacht, denn gehört ja zu diesem Funktionszweig.

Zitat:
Original von Saturnight
ich würde den lim der Funktion ausrechnen und bei beiden Funktionen deswegen 2 für x einsetzen.

"Beide Funktionen" ? Im Zusammenhang mit dieser Aufgabenstellung würde man darunter die bei a) und die bei b) verstehen, was keinen Sinn macht. unglücklich

Was du meinst ist, in beide Funktionszweige bei a) einsetzen, also sowohl den für als auch den für . Das ist prinzipiell richtig und basiert darauf, dass der zweite Zweig (diesmal als eigenständige Funktion auf ganz betrachtet!) an der Stelle 2 stetig ist und somit speziell auch für den rechtsseitigen Grenzwert gilt, siehe auch PDF von Leopold.
Saturnight Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist die erste Funktion stetig? Aber beim ersten Funktionszweig kommt doch 1 raus und beim zweiten kommt 2 raus. Bedeutet das dann nicht, dass die Funktion unstetig ist?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die erste Funktion ist unstetig. Mit Hilfe der beiden stetigen Funktion





und der Definition



umgehst du Notationsschwierigkeiten. Wie in meiner pdf-Datei ausgeführt, kannst du folgendermaßen rechnen:

1. Funktionswert:



2. Grenzwert von links:



Das drittletzte Gleichheitszeichen gilt, weil die Funktion als selbständige Funktion stetig ist.

3. Grenzwert von rechts:



Auch hier gilt das drittletzte Gleichungszeichen, weil die Funktion als selbständige Funktion stetig ist.

Der Funktionswert stimmt zwar mit dem linksseitigen Grenzwert überein, nicht jedoch mit dem rechtsseitigen. Daher ist die Funktion an der Stelle 2 unstetig.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Saturnight
Also ist die erste Funktion stetig?

Das klingt fast so, als würdest du das aus meinen Ausführungen herauslesen wollen? Möchte wissen wieso, wo ich doch oben bestätigt und ausgerechnet habe. geschockt
Saturnight Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte nur noch mal sicher gehen, ob ich alles richtig verstanden habe. Auf jeden Fall Danke für deine Hilfe. Freude
Saturnight Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke! Die zweite Funktion ist dann stetig, ja? Bei beiden Funktionszweigen bekommt man als Ergebnis 3.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Freude
Saturnight Auf diesen Beitrag antworten »

Nice! smile Aber als Frage mal kurz. Man soll ja immer erst raus finden, ob der Funktionswert an der Stelle x0 existiert, ja? Wie würde das denn aussehen, wenn es dort keinen Funktionswert geben würde?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit macht nur an Stellen Sinn, die im Definitionsbereich der Funktion liegen.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »