Diffeomorphismus

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Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »
Diffeomorphismus
Meine Frage:
Guten Abend kann jemand mit mir die Klausuraufgabe lösen?


Meine Ideen:
Ein Ansatz wäre sehr sehr nett
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Offenbar ist es so,dass an den Stellen an denen die Determinante der
Jakobimatrix Null ist ein Diffeomorphismus nicht möglich ist

Diese Stellen zu berechnen kann also nicht falsch sein
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo und danke für die Antwort smile


Die jacobimatrix :


jf(x,y)=


=

Das heißt die Determinante wird genau dann 0 wenn x=y ist. Für alle x ungleich y ist die Jacobi Matrix Invertierbar.

stimmt das ?
Wie kann ich nun überprüfen ob die Matrix Differenzierbar und Stetig ist?
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich es so begründen (bitte nur antworten wenn ihr sicher seit)

f ist Stetig Differenzierbar denn die Komponenten sind Differenzierbar und die Ableitung ist wieder Stetig. Begründung : (x^2+y^2,e^(x*y)) die Komponenten sind Partiell Differenzierbar und diese Sind Stetig. Also Differenzierbar.

stimmts?

Wie kann ich jetzt begründen das die Inverse Stetig Differenzierbar ist ?
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

achso da unsere Funktion Differenzierbar ist muss ja nach dem Satz der Impliziten Funktionen die Umkehrabbildung auch Differenzierbar sein und somit Stetig kann das sein ?
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

bzw. das ist der Satz von der Umkehrabbildung
 
 
xb Auf diesen Beitrag antworten »



Die Lösung müsste so aussehen



Das gehört dann nicht zum Definitionsbereich


Bei b muss man dann die Gebiete suchen,in denen die Abbildung injektiv ist
zumindest sehe ich das so


Zitat:
Original von Mesut95
das ist der Satz von der Umkehrabbildung

Muss man hier was begründen?
Davon steht in der Aufgabe nichts
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Für ein Diffeomorphismus muss doch die Funktion Stetig Differenzierbar sein und die Umkehrabbildung muss diese Bedingung auch erfüllen.

und ich habe das erste begründet mit :

f ist Stetig Differenzierbar denn die Komponenten sind Differenzierbar und die Ableitung ist wieder Stetig. Begründung : (x^2+y^2,e^(x*y)) die Komponenten sind Partiell Differenzierbar und diese Sind Stetig. Also Differenzierbar.


ist das richtig ?

und das die Umkehrabbildung Stetig Differenzierbar ist habe ich begründet mit :

Der Satz von der Umkehrfunktion. Denn dieser satz besagt :
wenn f Stetig Differenzierbar ist und die Jacobi Matrix Invertierbar ist so ist die Umkehrfunktion Stetig Differenziebar ... deswegen..

stimmt das denn nun ?
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

warum kriege ich einfach keine Antwort mehr vom Helfer
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mesut95
warum kriege ich einfach keine Antwort mehr vom Helfer


Naja du stellst grundlegende Fragen zum Diffeomorphismus und gehst damit
über die Aufgabenstellung hinaus.

Da bei deinen Fragen etwas größere Genauigkeit verlangt wird als beim einfachen rechnen
wäre es besser wenn dir jemand anderes antwortet
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mesut95
Der Satz von der Umkehrfunktio. Denn dieser satz besagt :
wenn f Stetig Differenzierbar ist und die Jacobi Matrix Invertierbar ist so ist die Umkehrfunktion Stetig Differenziebar ... deswegen..

stimmt das denn nun ?


Der Satz besagt, dass unter den genannten Voraussetzungen lokal(!) eine Umkehrabbildung existiert, und diese stetig differenzierbar ist.

@xb Dann waere es gut, wenn du es vorher in den Thread schreibst, anstatt gar nicht zu antworten smile
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo IfindU und danke für deine Antwort smile

Also um mein Problem mal genauer zu beschreiben :

Ich soll ja Prüfen ob die Funktion ein Diffeomorphismus ist.
Mir ist klar das ein Diffeomorphismus bedeutet, das die Funktion bijektiv ist und Stetig Differenzierbar ist. Also besitzt die Funktion eine Umkehrfunktion und diese muss auch Stetig Differenzierbar ist.
Ich habe im Internet einige Beispiel Aufgaben mir angeschaut und in diesen Beispiel Aufgaben wir nur gezeigt das die Funktion Invertierbar ist und daraus folgert man das die Funktion ein Diffeomorphismus ist.
Ich kann das nicht nachvollziehen, weil man muss doch auch die Stetigkeit und Differenzierbarkeit prüfen.. ??

In unserer Aufgabe ist es klar das die Funktion Stetig Partiell Differenzierbar ist und somit Stetig Differenzierbar ist. (sieht man ja ). Ich sehe aber zum Beispiel nicht das die Umkehrabbildung Stetig Differenzierbar ist verwirrt Das ist ja aber notwendig..

Ich hoffe das du verstanden hast was nun mein Problem ist
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss nicht, ob ich dich verstehe. Im ersten Teil redest du von anderen Aufgaben und deiner Meinung nach unvollstaendigen Musterloesungen. Das mag sein, mag nicht sein. Ohne sie zu sehen, kann ich nicht sagen, was sich die Leute dabei gedacht haben.

Zum zweiten Teil: Deswegen ist der Satz zur Umkehrabbildung so wichtig. Man kann meistens nicht einmal explizit die Umkehrabbildung hinschreiben, geschweige denn auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit untersuchen. Das wird uns aber beides geschenkt, und die Ableitung kann sogar mithilfe der Ableitung der urspruenglichen Funktion angegeben werden.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich glaube ich verstehe dich.
Wir wissen dann aber nur das f Lokal Invertierbar ist heißt das dann das f "nur" Lokal ein Diffeomorphismus ist ?

Wegen dem ersten Teil :

Nein ich bin nicht der Meinung, das die Lösung unvollständig ist. Ich bin der Meinung das ich etwas nicht richtig verstehe.
Als Bild habe ich dir mal so eine Aufgabe mit Lösung geschickt. (Vom Internet)
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das heißt es. Deswegen ist auch die Aufgabe (b) ein maximales Gebiet zu finden, auf dem es ein Diffeomorphismus ist. Das wäre witzlos, wenn ein (globaler) Diffeomorphismus ist.
Man beachte auch, man sucht "ein" maximales Gebiet, nicht "das" maximale Gebiet.

Streng genommen ist die Lösung unvollständig. Es muss natürlich begründet werden, warum die Funktion stetig differenzierbar ist. Aber bei so "einfachen" Funktionen haben die Schreiber der Lösung es wohl nicht für nötig gefunden es extra hinzuschreiben.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Na Mathematiker müssen doch so genau wie möglich sein geschockt
Präzise Arbeiten das versuche ich immer (so gut es geht). Ups

f ist Lokal ein Diffeomorphismus. Das haben wir gezeigt indem wir gezeigt haben das die Jacobi Matrix existiert und Invertierbar ist daraus Könnten wir folgern das f eine Umkehrabbilung hat die Stetig und Differenzierbar sein muss.
Wie kann ich aber zeigen das die Funktion ein Diffeomorphismus ist bzw wie soll ich ein Maximales Gebiet finden hmm..

Ich weiß zumindest das f Lokal ein Diffeomorphismus ist für alle Punkte (x,y) ungleich x=y.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Mathematiker müssen so präzise sein wie es der Kontext erfordert. Ich sehe auch nicht, dass du nachgewiesen hast, dass überhaupt eine Funktion ist. Eine Relation, die linksvollständig und rechtseindeutig ist! Wichtig ist, dass wir es zeigen können, wenn es erfordert ist. Deswegen fokusiert man sich bei Übungen zur Umkehrfunktion darauf, die "neuen" Konzepte intensiver zu betrachten und den Rest als "ist klar und könnten wir machen" abzuhaken.

Zitat:
f ist Lokal ein Diffeomorphismus. Das haben wir gezeigt indem wir gezeigt haben das die Jacobi Matrix existiert und Invertierbar ist daraus Könnten wir folgern das f lokal eine Umkehrabbilung hat die Stetig und Differenzierbar sein muss.


Zur Frage
Zitat:
Wie kann ich aber zeigen das die Funktion ein Diffeomorphismus ist bzw wie soll ich ein Maximales Gebiet finden hmm..


Ich wuerde darauf tippen, dass die Funktion kein Diffeomorphismus ist. In der Aufgabe ist auch immer die Einschränkung auf Mengen (bzg. ) der Rede. Man redet nie von einem globalen Diffeomorphismus. Und ein maximales Gebiet angeben, auf dem man noch einen Diffeomorphismus vermutet ist einfach. Zu zeigen, dass es wirklich stimmt, nicht mehr. Vermutlich reicht es wenn es dort überall lokal ein Diffeomorphismus ist und global bijektiv ist. Aber da sollte es einen Satz zu geben. (Bin mir ehrlich gesagt nicht sicher, ob es gilt.)
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

puh sorry für die Frage aber was soll ich jetzt genau machen ? verwirrt
Ich soll ein Maximales Gebiet finden, sodass f ein Diffeomorphismus ist.
Es wäre also erstmal sinnvoll nachzugucken wo f bijektiv ist und dann zu Prüfen ob die Umkehrabbildung an diesen Stellen Stetig und Differenzierbar ist..
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Erstens: Rate ein Gebiet , wo du vermutest die Funktion ist diffeomorph, und man kann es nicht groesser machen ohne Diffeomorphie zu verlieren.

Dafuer bietet sich an grafisch zu visualisieren, wo die Funktion nicht einmal lokal diffeomorph ist. Diese Menge grenzt auf natuerliche Weise verschiedene moegliche Gebiete ab. In dem Fall sind es 4 kanonische Kandidaten fuer , da die "schlechte" Menge den in 4 Zusammenhangskomponenten zerlegt.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja in einer Klausur kann ich mir keine Grafik herzaubern unglücklich
aber die stellen die nicht Lokal Diffeomorphismus sind haben wir ja schon bei der a) herausgefunden-
Die Determinante der Jacobi Matrix ist 0 für |x|=|y| d.h insbesondere das die Jacobi Matrix für |x|=|y| nicht Invertierbar ist und somit kann es auch keinen Lokalen Diffeomorphismus an dieser stelle geben. (Folgt aus nicht Lokal Diffeomorphismus nicht Global Diffeomorphismus ? verwirrt )
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die letzte Frage kriegst du auch ohne meine Hilfe hin.

Und ich wollte auch nicht die Funktion plotten, sondern wie die Menge aussieht. Dort ist es kein Diffeomorphismus. Wie sieht dann aus? (Hier kommen die 4 Gebiete ins Spiel.)
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das muss sein wenn die Funktion nicht mal an einer stelle Lokal Diffeomorphismus ist wie soll diese dann Global ein Diffeomorphismus sein.

Also theoretisch gesehen ziehen wir aus unser R^2 alle Punkte wo x=y sind.
dann haben wir einmal (x,-y) , (-x,y) ,(x,0) (0,x)
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Eben.

Zum anderen: Konzentrier dich bitte. Es macht sprachlich recht wenig Sinn, und was ich an Formeln sehe, passt auch nicht wirklich.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja es ist halt das ganze R^2 aber |x|=|y| ist nicht erlaubt. ich weiß nicht wie ich das genau aufschreiben soll
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist also ganz mit einem grossen, in zentriertem `X' herausgenommen. D.h. es bleiben 4 'dreckige' Gebiete übrig, eingezäumt von diesem X.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll ich jetzt mit diesen 4 Dreckigen Gebieten machen ?
soll ich überprüfen ob in diesen 4 dreckigen gebieten die Funktion Global ein Diffeomorphismus ist ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind gute Kandidaten fuer das maximale Gebiet . Gebiete sind zusammenhängend, d.h. wenn fuer eine davon ein Diffeomorphismus ist, hast du ein maximales Gebiet gefunden.

Jede Funktion ist auf ihr Bild surjektiv. Schaue nach ob du Injektivitaet zeigen kannst.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist wenn für alle Gebiete f ein Diffeomorphismus ist ? warum reicht es aus wenn f nur für ein Gebiet Diffeomorphismus ist ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist auch Symmetriegründen auf allen Gebieten eingeschränkt ein Diffeomorphismus, sobald es auf einem der Gebiete ein Diffeo ist. Du suchst aber ein maximales Gebiet, nicht alle maximale Gebiete.

Größer kann es nicht sein, weil wir sonst die "X" Menge M überschreiten würden. Oder wir springen und wir haben kein Gebiet mehr (zwangsläufig zusammenhängend).

In dem Fall gibts sogar eine dritte Begründung: Wir verlieren Injektivität.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann ich mir diese X -Menge vorstellen ? wie so ein Loch in der mitte ?

(Siehe Bild-)

Zum Beweis der Injektivität :

Es ist zu zeigen das :


Also :


da exp Injektiv ist kann man daraus folgern



Nehmen wir die 2 Gleichung mal 2 ergibt sich



mit der 1 gleichung addiert ergibt sich



und jetzt weiss ich nicht mehr weiter hmm
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

So sieht die Menge aus:

.

Das sind genau die Werte wo ist. Ich fand 'X' eine ziemlich anschauliche Beschreibung. Ein Gebiet waere das obere Dreieck. Dort ist z.B. immer . Im rechten Dreieck ist immer usw. Das sind genau die Bedingungen, die einem die Injektivität retten. Ansonsten liefern die Punkte und immer die gleichen Funktionswerte, wie man durch einsetzen sofort sieht.

Wählt man z.B. das oberste Dreieck, d.h. mit , so folgt aus (also , dass das gleiche Vorzeichen haben. Damit kann man dann ein paar Fallunterscheidungen machen. Bist auf jeden Fall auf dem richtigen Weg.

Edit: Ich mach mal fuer heute Schluss.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso okay. Dann könnte ich jetzt das vorzeichen vom x negativ werden lassen also

nehme ich jetzt mal -2
dann habe ich :

und diese mit der 1 Gleichung zusammengefasst habe ich :



diese gleichung betrachte ich nun in verbindung mit


wenn ich nun die Wurzel der beiden Gleichungen ziehe komme ich auf








daraus kann ich nun folgern das x_1=x_2 ist und y_1=y_2

da wir gezeigt haben das f Injektiv ist und f Surjektiv ist folgt daraus das f bijektiv ist.
Nun wir wissen vom Aufgabenteil a) das die Jacobi Matrix in diesem Gebiet Invertierbar ist das bedeutet aber insbesondere das f in diesem Gebiet Umkehrbar ist und das die Umkehrung Stetig Differenzierbar ist. Daher ist in diesem Gebiet f Global
Diffeomorphismus und ein kleiner schritt weiter und unser
Diffeomorphismus geht kapput da dann die Injektivität verloren geht.
Stimmt das denn soweit verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Dir haette auffallen sollen, dass deine Begründung nicht ausreichend ist. So hast du nirgendwo die Information benutzt, dass du dich in einem der 4 Gebiete befindest.

Der falsche Schritt ist, dass nach dem Wurzelziehen nur ergibt. Hier braucht man die Information ueber die Gebiete um so etwas folgern zu koennen. Schließlich könnte sonst und sein. Wenn du aus dann folgerst, ist es eben falsch.

Vlt noch ein Tipp: In dem oberen Gebiet ist .
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir befinden uns im oberen Dreieck.
Da ist x+y>0 und x-y>0 (jeweils x pder y subtrahieren oder addieren).
Da das gilt ist das in der klammer nur positiv und wir müssen nur die positive wurzel beachten
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mesut95
Na Mathematiker müssen doch so genau wie möglich sein geschockt
Präzise Arbeiten das versuche ich immer (so gut es geht). Ups

Zitat:
Wir befinden uns im oberen Dreieck.
Da ist x+y>0 und x-y>0 (jeweils x pder y subtrahieren oder addieren).

Dann zeig mal einen Beweis fuer den behaupteten Sachverhalt.
Mesut Auf diesen Beitrag antworten »

Wir befinden uns im Gebiet .
Das heißt aus y>|x| folgt einmal

Für x>=0
x-y <0

Und für x<0 folgt

-x -y >0
x+y <0.


Also ist das in der klammer kleiner 0 und wir müssen eigentlich die Negative Wurzel betrachten.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir uns aber in der Rechten seite befinden würden dann wäre das in der klammer positiv und wir müssten nur die Positive wurzel betrachten
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Bis jetzt ist das schoenste von mir folgendes: Wir wissen haben das gleiche Vorzeichen. Fall 1: . Dann folgt aus und , da aus , dass . Das kann man nach einer Variablen umformen, z.B., ,und in einsetzen. Man bekommt dann (in dem Beispiel) eine quadratische Formel in . Mit der Voraussetzung, dass besitzt diese eine eindeutige Lösung, nämlich . Daraus folgt sofort und man ist fertig. Details und Fall 2 ueberlasse ich mal dir.
Mesut95 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Fall 2 ist x1,x2<0 .
Dann folgt draus das x1 + y1 >0 und x2+ y2>0
Da y>|x|.

Und dann wenn wir die wuzel ziehen bekommen wir

x1+ y1= x2+y2 .

wenn ich das ganze nach x1 umforme kommt
x1= x2+ y2-y1

Eingesetzt in die 2.gleichung kommt:

(x2*y2-y1) *y1= x2*y2

Hmm und jetzt ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wie schon gesagt, ist es eine quadratische Gleichung in (in dem Fall). Quadratische Gleichungen kann man leicht loesen.
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