Stetigkeit, Differenzierbarkeit untersuchen

06.09.2017, 09:53

Mango123

Stetigkeit, Differenzierbarkeit untersuchen

Meine Frage:
Also ich muss überprüfen ob folgende Funktion 1.stetig 2.differenzierbar 3.stetig differenzierbar ist:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{sin(x)^2}{x^2} falls~x\neq 0 ~ist \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also um die Stetigkeit zu zeigen hab ich mit l'hosptial den Grenzwert berechnet:
$\begin{eqnarray*} (\lim_{x\to 0} \frac{sin(x)}{x})^2=<br /> \lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=cos(x) cos(x)^2=1 \end{eqnarray*}$
Also ist die Funktion stetig.
Nun bei der Differenzierbarkeit, wie zeige ich da dass die Funktion differenzierbar ist?
Muss ich den links- und rechtsseitigen Grenzwert berechnen und wenn jene gleich sind ist die Funktion differenzierbar?
Wie zeigt man stetige differenzierbarkeit?
(Latex funktioniert nicht...) Doch, wenn der Endtag /latex statt \latex ist. Hab's ersetzt. Steffen

06.09.2017, 10:13

HAL 9000

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1) Notwendige Voraussetzung für Stetigkeit im Punkt $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ (darauf willst du ja wahrscheinlich mit der Betrachtung des Grenzwertes $\begin{align*} \lim_{x\to 0} f(x) \end{align*}$ hinaus) ist es, dass die Funktion überhaupt für $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ definiert ist. Davon sehe ich in deiner Funktionsdefinition nichts - hast du wohl unterschlagen! Gemeint ist da mutmaßlich

$\begin{align*} f(x) = \begin{cases} \displaystyle\frac{\sin^2(x)}{x^2} & \;\mbox{falls}\; x\neq 0<br /> 1 & \;\mbox{falls}\; x=0\end{cases} \end{align*}$ .

Andernfalls macht dein Fazit

Zitat:

Original von Mango123
Also ist die Funktion stetig.

nach der obigen Grenzwertrechnung keinen Sinn. unglücklich

2) Differenzierbarkeit im Punkt $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ ist gleichbedeutend mit der Existenz des Grenzwertes

$\begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\frac{\sin^2(h)}{h^2}-1}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\sin^2(h)-h^2}{h^3} \end{align*}$

3) Nachdem die Ableitung auch in den Punkten $\begin{align*} x\neq 0 \end{align*}$ berechnet wurde, kann man mit diesem Ergebnis sowie 2) prüfen, ob die so berechnete Ableitungsfunktion ebenfalls stetig ist.

P.S.: Übrigens, ohne diese Festlegung von $\begin{align*} f(0) \end{align*}$ ist die Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ trotzdem stetig, aber das dann eben nur auf ihrem dann eingeschränkten Definitionsbereich $\begin{align*} \mathbb{R}\setminus\{0\} \end{align*}$ , die vorgenommene Grenzwertrechnung ist in diesem Fall überflüssig.

06.09.2017, 13:08

Mango123

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1)Ja genau so hab ich das gemeint, dann sollte das mit der Stetigkeit geklärt sein oder?
2) berechnet man die Ableitungsfunktion für x ungleich 0 auch mit dem Differenzenquotient? Es genügt ja nicht nur die Differenzierbarkeit von x=0 zu berechnen oder?
3)das heißt die Ableitungsfunktion wie bei 1) die Grundfunktionen dann überprüfen?
Danke für die Hilfe smile

06.09.2017, 14:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mango123
1)Ja genau so hab ich das gemeint, dann sollte das mit der Stetigkeit geklärt sein oder?

Ja.

Zitat:

Original von Mango123
2) berechnet man die Ableitungsfunktion für x ungleich 0 auch mit dem Differenzenquotient?

Kann man machen, ist aber unnötig umständlich. Verwende die dir bekannten Regeln, um ganz "normal" zu differenzieren.

Zitat:

Original von Mango123
3)das heißt die Ableitungsfunktion wie bei 1) die Grundfunktionen dann überprüfen?

Falls du damit meinst "auf Stetigkeit überprüfen": Ja, genauso habe ich es ja geschrieben.

Im vorliegenden Fall gibt es auch noch eine weitere Variante, wenn gewisse Grundkenntnisse zu Potenzreihen vorhanden sind:

Die vorliegende Funktion lässt sich als Potenzreihe mit Entwicklungspunkt 0 darstellen, welche sogar Konvergenzradius $\begin{align*} \infty \end{align*}$ hat, d.h., für alle reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ konvergiert und auch die Funktion repräsentiert. Damit ist man praktisch fertig, und hat sogar noch viel mehr bewiesen: Potenzreihen sind innerhalb ihres (offenen) Konvergenzintervalls beliebig oft stetig differenzierbar.

06.09.2017, 19:37

Mango123

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Ok eine letzte Frage noch einmal zur Differenzierbarkeit: ich muss ja ZEIGEN dass die Funktion differenzierbar ist, genügt es da also einfach ABZULEITEN um es zu zeigen? verwirrt

07.09.2017, 09:07

klarsoweit

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Wende die Regeln zur Differenzierbarkeit an. Du hast es hier mit dem Quotienten differenzierbarer Funktionen zu tun. Solange der Nenner nicht Null ist, ist der Quotient wiederum differenzierbar. Die Stelle x=0 muß dann separat untersucht werden.

07.09.2017, 10:00

Mango123

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Vielen Dank für Ihre Hilfe Freude

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