Periodenlänge von Brüchen

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Supermoritz Auf diesen Beitrag antworten »
Periodenlänge von Brüchen
Meine Frage:
Moin,

wir hatten es von der Periodenlänge von Brüchen , bei denen ggT(10,b) = 1 ist. Jetzt möchte ich das auf allgemeine Nenner übertragen.

Meine Ideen:
Für ggT(10,b) = 1 ist ja die Periodenlänge l gleich der kleinsten Zahl, für die gilt.


Bei allgemeinen vollständig gekürzten Brüchen mit ggT(10,b') = 1 ist es dann doch einfach das kleinste l, für das

gilt, oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal dies: Vielleicht für dich völlig selbstverständlich, aber von dir oben nicht erwähnt, meinst du mit einen vollständig gekürzten Bruch, d.h., .

Zitat:
Original von Supermoritz
Bei allgemeinen vollständig gekürzten Brüchen mit ggT(10,b') = 1 ist es dann doch einfach das kleinste l, für das

gilt, oder?

Das ist richtig, und lässt sich so begründen: Wir gehen also von mit aus. Nun multiplizieren wir gedanklich den Gesamtbruch mit , was die Ziffernfolge in der Dezimaldarstellung nicht verändert, sondern nur das Komma um Stellen nach rechts verschiebt. Es entsteht die Zahl



mit , und es ist leicht verifizierbar, dass dann gilt. Damit greift wieder der erste Fall, für die "Rückrechnung" zum Originalbruch müssen wir beim Ergebnis von entsprechend das Komma dann wieder um nach links verrücken. Der Unterschied zum ersten Fall ist im Ergebnis lediglich, dass die Periode der Originalzahl dann nicht sofort nach dem Komma beginnt, sondern erst Stellen weiter rechts. Die eigentliche Länge der Periode ist davon aber nicht betroffen. Die ist übrigens stets oder noch genauer mit Carmichael-Funktion . Augenzwinkern


Beispiel:

Übergang zu mit Periodenlänge (d.h. hier "=" statt nur "|").

Rückrechnung zum Originalbruch: .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es mir immer so gemerkt: In welche der Zahlen 9, 99, 999, 9999 und so weiter paßt die Primzahlenkombination (ohne die Primzahlen 2 oder 5) des Nenners zum ersten Mal hinein? Entsprechend entsteht die Periodenlänge 1,2,3,4 und so weiter. Spaltet man noch 9 ab, so geht es um die folgenden Primfaktorzerlegungen:






und so weiter. Die Primzahlen 2 und 5 regeln die Vorperiode.

Beispiel 1:



Die 41 steckt in der 11111 zum ersten Mal. Also steckt die Kombination zum ersten Mal in der 99999. Gekürzte Brüche mit dem Nenner haben also die Periodenlänge 5. (Die 2 sorgt für eine Vorperiode der Länge 1.)



Beispiel 2:



Die drei Dreier finden sich zum ersten Mal in der 999. Daher Periodenlänge 3 bei vollständig gekürzten Brüchen. (Die zwei Fünfen sorgen für eine Vorperiode der Länge 2.)

Supermoritz Auf diesen Beitrag antworten »

Tausend Dank! ratter ratter ratter da gebt ihr mir einiges zu denken Big Laugh

Für mich war es bis vorgestern ziemlich random, welche Brüche in der Dezimalbruchdarstellung eine Periode haben und wie lang die ist. Darüber habe ich auch nie wirklich nachgedacht. Immer wieder faszinierend.

In dem Buch, in dem ich mich auch versucht habe schlau zu machen, verwenden die zwar auch , aber ohne den Bezug zur Carmichael-Funktion herzustellen (Müssen sie auch nicht, aber hat mich schon gewundert warum die ausgerechnet lambda nehmen).
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