ggt und kgv

06.09.2017, 16:25

matheidiot123

ggt und kgv

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} a_1,..,a_k,b_1,....,b_k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_ib_i=c \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,...,k \end{eqnarray*}$ .Zeigen Sie

$\begin{eqnarray*} c=ggt(a_1,..,a_k)*kgv(b_1,....,b_k) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
beweis per widerspruch

sei $\begin{eqnarray*} c \neq ggt(a_1,..,a_k)*kgv(b_1,....,b_k) \end{eqnarray*}$

jedes c ist darstellbar als $\begin{eqnarray*} a_ib_i=c \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,...,k \end{eqnarray*}$ nun kann ich ja $\begin{eqnarray*} c=\prod\limits_{i=1}^{k} a_i*\prod\limits_{i=1}^{k} b_i \end{eqnarray*}$ . Nehme ich jetzt den $\begin{eqnarray*} ggt(a_1,a_2,...,a_k)=a_1x_1+...+a_kx_k=\frac{b_1}{c}x_1+...+\frac{b_k}{c}x_k= \frac{1}{c}(b_1x_1+...+b_kx_k) \end{eqnarray*}$

irgendwie führt dieser beweis zu nichts. Jemand tipps?

06.09.2017, 16:40

IfindU

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RE: ggt und kgv
Das schreit doch praktisch nach vollstaendiger Induktion. Wichtig ist eigentlich nur die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} ggT(x,y,z) = ggT( ggT(x,y), z) \end{eqnarray*}$ und analog fuer $\begin{eqnarray*} kgV \end{eqnarray*}$ .

Nebenbei, es muss natuerlich $\begin{eqnarray*} c^k=\prod\limits_{i=1}^{k} a_i*\prod\limits_{i=1}^{k} b_i \end{eqnarray*}$ heissen.

08.09.2017, 13:13

matheidiot123

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hi ich hab ein problem Big Laugh

also

Seien $\begin{eqnarray*} a_1,..,a_k,b_1,....,b_k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_ib_i=c \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,...,k \end{eqnarray*}$ .Zeigen Sie

$\begin{eqnarray*} c=ggt(a_1,..,a_k)*kgv(b_1,....,b_k) \end{eqnarray*}$

ich mache jetzt V.I.

$\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$

dann hab ich $\begin{eqnarray*} ggt(a_1,a_2) \end{eqnarray*}$ ,da ich keine Ahnung hab was $\begin{eqnarray*} ggt(a_1,a_2) \end{eqnarray*}$ ist,nenne ich das Ding einfach mal $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ ,also $\begin{eqnarray*} ggt(a_1,a_2)=d \end{eqnarray*}$ ,aber das bringt mir ja nicht viel. Ich kann das ja analog für das $\begin{eqnarray*} Kgv \end{eqnarray*}$ machen,dann hab ich $\begin{eqnarray*} kgv(b_1,b_2)=j \end{eqnarray*}$ ,aber $\begin{eqnarray*} c=d*j \end{eqnarray*}$ ,das geht ja nur irgendwie wenn $\begin{eqnarray*} ggt(a_1,a_2) \end{eqnarray*}$ irgendwas mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ raus kommt und bei $\begin{eqnarray*} kgv(b_1,b_2) \end{eqnarray*}$ irgendwas mit $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ,da laut vorrausetzung $\begin{eqnarray*} a_ib_i=c \end{eqnarray*}$ ist. kannst du mir da helfen?

08.09.2017, 13:23

HAL 9000

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Frage: Kennst du das für zwei beliebige positve ganze Zahlen $\begin{align*} a_1,a_2 \end{align*}$ gültige

$\begin{align*} \operatorname{ggT}(a_1,a_2)\cdot \operatorname{kgV}(a_1,a_2) = a_1\cdot a_2\qquad (*) \end{align*}$ ?

Das lässt sich hier prima einsetzen: Es ist

$\begin{align*} a_1a_2\operatorname{kgV}(b_1,b_2) = \operatorname{kgV}(a_1a_2b_1,a_1a_2b_2) = \operatorname{kgV}(ca_2,ca_1)= c\operatorname{kgV}(a_1,a_2) \end{align*}$ .

Multipliziert mit $\begin{align*} \operatorname{ggT}(a_1,a_2) \end{align*}$ und (*) nutzend folgt ...

08.09.2017, 15:12

matheidiot123

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Guten tag,

danke für deine Antwort.

$\begin{eqnarray*} a_1a_2 kgV(b_1,b_2)=kgV(a_1a_2b_1,a_1a_2b_2)=kgV(ca_2,ca_1)=c kgV(a_1,a_2) \end{eqnarray*}$ . | $\begin{eqnarray*} *ggt(a_1,a_2) \end{eqnarray*}$

äquivalent

$\begin{eqnarray*} ggt(a_1,a_2)a_1a_2kgV(b_1,b_2)=ggt(a_1,a_2)ckgV(a_1,a_2). \end{eqnarray*}$

äquivalent

$\begin{eqnarray*} ggt(a_1,a_2)a_1a_2kgV(b_1,b_2)=a_1*a_2*c. \end{eqnarray*}$

äquivalent

$\begin{eqnarray*} ggt(a_1,a_2)kgV(b_1,b_2)=c. \end{eqnarray*}$

Wie bist du auf den Ansatz $\begin{eqnarray*} a_1a_2kgV(b_1,b_2) \end{eqnarray*}$ gekommen?

Induktionsbehauptung

aussagen stimmt für ein festes aber beliebiges $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

I.S. $\begin{eqnarray*} n->n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ggt(a_1,...,a_{k+1})*kgv(b_1,...,b_{k+1})=ggt(ggt(a_1,...,a_k),a_{k+1})*kgv(kgv(b_1,...,b_k),b_{k+1}) \end{eqnarray*}$

jetzt bekomme ich die I.B nicht angewandt

08.09.2017, 15:21

HAL 9000

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Vielleicht hilft dir folgende "Umetikettierung":

Setze $\begin{align*} A_1:=\operatorname{ggT}(a_1,\ldots,a_k),\; A_2:=a_{k+1} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} B_1:=\operatorname{kgV}(b_1,\ldots,b_k),\; B_2:=b_{k+1} \end{align*}$ .

Dann gilt von Haus aus $\begin{align*} A_2B_2=c \end{align*}$ , und wegen der Induktionsvoraussetzung auch $\begin{align*} A_1B_1=c \end{align*}$ .

Nachweisen musst du wegen

Zitat:

Original von matheidiot123
$\begin{eqnarray*} ggt(a_1,...,a_{k+1})*kgv(b_1,...,b_{k+1})=ggt(ggt(a_1,...,a_k),a_{k+1})*kgv(kgv(b_1,...,b_k),b_{k+1}) \end{eqnarray*}$

jetzt also nur noch $\begin{align*} \operatorname{ggT}(A_1,A_2)\cdot \operatorname{kgV}(B_1,B_2) = c \end{align*}$ .

P.S.: Angesichts der von dir gewählten Indizes ist der Induktionsschritt wohl eher $\begin{align*} k\to k+1 \end{align*}$ statt $\begin{align*} n\to n+1 \end{align*}$ zu bezeichnen. Oder du änderst du die Indizes in der von mir zitierten Gleichung von k in n, wie du willst. Augenzwinkern

08.09.2017, 15:49

matheidiot123

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Hallo,

$\begin{eqnarray*} A_1*A_2*B_1*B_2=c^2 \end{eqnarray*}$ ,da wir von dir schon erwähnt "Dann gilt von Haus aus $\begin{eqnarray*} A_2B_2=c \end{eqnarray*}$ , und wegen der Induktionsvoraussetzung auch $\begin{eqnarray*} A_1B_1=c \end{eqnarray*}$ ."

jetzt kann ich ja wie im induktionsanfang umformen

und erhalten $\begin{eqnarray*} ggt(A_1,A_2)*kgv(B_1,B_2)=c^2. \end{eqnarray*}$ . Ist das ok so?

Liebe grüße

08.09.2017, 15:53

HAL 9000

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Man muss gar nicht "wie im Induktionsanfang" umformen, man kann den bereits bewiesenen Induktionsanfang für Anzahl 2 direkt anwenden, diesmal aber auf die vier Zahlen $\begin{align*} A_1,A_2,B_1,B_2 \end{align*}$ statt auf $\begin{align*} a_1,a_2,b_1,b_2 \end{align*}$ . Augenzwinkern

08.09.2017, 16:05

matheidiot123

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Dank dir

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