Verallgemeinerter Mittelwertsatz

06.09.2017, 18:24

boris602

Verallgemeinerter Mittelwertsatz

Der verallgemeinerte Mittelwertsatz hat die Form

is.
$\begin{eqnarray*} \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}= \frac{f'(\Im) }{g'(\Im ) } \end{eqnarray*}$

Die Idee hinter dem verallgemeinertem Mittelwertsatz ist es ja eine Sekante zu finden,sodass f(x)'=g'(x) sind. Dieser sagt jedoch nur aus, dass $\begin{eqnarray*} f,g:[a,b]->\mathbb {R} \end{eqnarray*}$ stetig sowie differenzierbar in $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ . Falls $\begin{eqnarray*} g'(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in (a,b) \end{eqnarray*}$
so gibt es ein $\begin{eqnarray*} \Im\in (a,b) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}= \frac{f'(\Im) }{g'(\Im ) } \end{eqnarray*}$ .

Mein Problem ist nun folgendes. Nehme ich f(x)=x und g(x)=x^2 so finde ich eine Lösung.
Wo finde ich jetzt aber den Widerspruch in der Definition und Rechnung wenn ich für f(x)=x und g(x)=2x einsetze . Im Intervall [0,2] kommt beispielsweise $\begin{eqnarray*} \frac{(2)-(0)}{(4)-(0)}= \frac{(1 }{(2 ) }=0,5 \end{eqnarray*}$ als Antwort. Was sagt die 0,5 denn nun aus?

06.09.2017, 19:07

IfindU

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RE: verallgemeinerter Mittelwertsatz

Zitat:

Original von boris602
Wo finde ich jetzt aber den Widerspruch in der Definition und Rechnung

Sei bitte klarer. Wo soll es einen Widerspruch geben? Zu was?

06.09.2017, 19:17

boris602

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Die beiden Funktionen werden niemals die gleiche Steigung haben, wie es bei dem gewöhnlichen Mittelwertssatz üblich wäre. D.h es kann keine Sekante geben. die jeweils parallel zur Tangente der beiden Funktionen verläuft. Deshalb bin ich über die Lösung verwirrt.

Zwischen x und x^2 gibt es ja beispielsweise eine Lösung bei x=1 ,

06.09.2017, 19:20

IfindU

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Also die idee ist nicht $\begin{eqnarray*} f'(x) = g'(x) \end{eqnarray*}$ zu finden. Sonst waere die rechte Seite vom verallg. Mittelwertsatz ja einfach 1.

Ich habe nicht wirklich eine Anschauung von dem Satz. Und ich glaube ausser den Satz von L'Hospital zu beweisen, hat er kaum Anwendung.

06.09.2017, 19:30

boris602

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RE: verallgemeinerter Mittelwertsatz
Der Beweis folgt aus dem Mittelwertsatz http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~h...ptAnaI_1516.pdf , wird auch hier im Skript anschaulich. Wollte dort den Satz von l'hospital verstehen, jedoch habe ich noch ein Problem mit dem verallgemeinertem Mittelwertssatz , wie hier wo , das Ergebnis nicht 0,5 sondern 0=0( kann ja auf beiden Seiten abgezogen werden) ist , was einfach nichts aussagt.

06.09.2017, 19:38

IfindU

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RE: verallgemeinerter Mittelwertsatz
Die $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ sagt aus, dass es einen Punkt $\begin{eqnarray*} \xi\in (0,2) \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 = \frac { f'(\xi)}{ g'(\xi)} \end{eqnarray*}$ . D.h. es gibt eine Stelle, an der die Ableitung von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ doppelt so gross ist wie die von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Hier ist $\begin{eqnarray*} f'(x) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'(x) = 2x \end{eqnarray*}$ . D.h. eine moegliche Stelle (und hier die einzige), ist $\begin{eqnarray*} x= 1 \end{eqnarray*}$ .

Als Randbemerkung:
Der Satz ist echt stärker und folgt NICHT aus dem normalen Mittelwertsatz. Der Beweis kann analog geführt werden, aber er muss geführt werden. Wird auch im Skript mit dem Satz von Rolle gemacht.

Bei der speziellen Wahl von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ folgt die Aussage sogar wirklich aus dem Mittelwertsatz. Schließlich ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{ f(x) - f(y) } { g(x) - g(y)} = \left(\frac { g(x) - g(y)} { x - y }\right)^{-1} \end{eqnarray*}$ . Aber im Allgemeinen eben nicht.

06.09.2017, 19:55

boris602

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danke, schau es mir nochmals genauer an

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