Beweis eines Grenzwertes

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Ana123 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis eines Grenzwertes
Meine Frage:
Hallo zusammen ich habe die Aufgabe gelöst aber ob man das so machen kann, da bin ich mir nicht sicher.

Meine Ideen:
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

magst du uns denn erleuchten, wie die erste Gleichheit zustande kam?
Ana123 Auf diesen Beitrag antworten »

Erweitert mit der 3 Binomischen Formel also :




und nach dem = sollte kein "<=" sondern wieder "=" kommen.
Ana123 Auf diesen Beitrag antworten »

und eigentlich sollte überall der limes nicht stehen. Ich berechne nicht den limes sondern Beweise diesen-

Die Letzte Ungleichung gilt nach dem Satz von Eudoxus
Ana123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ps: Ich benutze den Satz:

Eine Folge an hat genau den Grenzwert a wenn die Folge (an-a) eine Nullfolge ist
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nach der Erweiterung erhalte ich , ich sehe nicht, inwiefern man damit die erste Gleichung bekommt.

Ich würde empfehlen, stattdessen mit erweitern unter Ausnutzung der Formel .

Es gäbe noch einen anderen Weg, wenn du weißt, dass monotone und beschränkte Folgen konvergent sind und du die Grenzwertsätze kennst.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Möglich wäre auch der Weg über das leicht begründbare Sandwich

,

die k-te Potenz der rechten Ungleichung folgt wahlweise aus der Bernoullischen Ungleichung oder auch einfach dem Binomischen Satz.
boris602 Auf diesen Beitrag antworten »

soll gelten => . Da Wurzel größer 1 ist ist jede Wurzel stets kleiner gleich Ergebnis ohne Wurzel. Den Rest muss man hier auch nochmals exakt hinschreiben. Sei also so gibt es ein sodass . Daraus folgt .

Achten Sie jeweils immer darauf , dass man bei diesen Beweisen immer sehr nett abschätzen kann, solange es noch konvergent bleibt um unnötige Komplikationen zu vermeiden.
Ana123 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Danke für eure Hilfe.

Freude
Ana123 Auf diesen Beitrag antworten »

@Hal9000 das ist zwar eine Gute Idee aber k ist nicht Element der reelen Zahlen. Die Abschätzung die du mit der Bernouli Ungleichung gemacht hast ist ein sonderfall der nur für 0<=k<=1 gilt mit k element R. Da k aber in der Aufgabe Element von N ist wird diese Abschätzung leider nicht klappen smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

HAL hat doch nur mit benutzt verwirrt
Ana123 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir suchen doch aber eine Abschätzung nach oben und nicht nach unten.
Und diese Art der Bernouli Ungleichung ist doch eine Abschätzung nach unten.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ist alles relativ. Die linke Seite wird nach unten geschätzt. Alternativ wird die rechte Seite nach oben abgeschätzt. Und weil die -te Potenz (und somit die -te Wurzel) monoton ist, kann man einfach bei "meiner" Ungleichung die -te Wurzel ziehen und bekommt die Abschätzung des "richtigen" Termes nach oben.
Ana123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje ich verstehe leider nicht was du meinst.
Meine Meinunt :

Wir haben nach unten abgeschätzt durch 1 ist ja klar verstehe ich vollkommen.
Nun suchen wir eine Abschätzung nach oben.

Die Idee die Hal9000 hat und die ich so auffasse:

Wir nehmen und können es auch so aufschreiben:



Nun es gilt für eine Reele Potenz k mit die Ungleichung:



Und ich habe gedacht bzw denke das hier das benutzt wurde und somit unser wurzelterm nach oben Abgeschätzt wurde.
Und mein widerspruch war das unser k in der Aufgabe keine Reele Zahl ist sondern eine Natürliche..

Ich hoffe es ist verständlich was ich meine
Ana123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habe den Punkt wo ich falsch gedacht habe.
Wenn wir unsere Potenz r nennen und r= 1/k festlegen dann ist unsere potenz r eine reele Zahl und es gilt 0<r<=1
So hab meinen fehler

Tut mir leid Hal9000 deine Idee ist Super
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit eingesetzt, ist . Nimmt man die -te Wurzel, so steht dort
.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Anmerkung

Zitat:
Original von HAL 9000
die k-te Potenz der rechten Ungleichung folgt wahlweise aus der Bernoullischen Ungleichung oder auch einfach dem Binomischen Satz.

habe ich ja nicht grundlos gemacht. Nun, inzwischen ist es ja angekommen. Augenzwinkern
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