Extrema unter Nebenbedingungen

07.09.2017, 22:19

steviehawk

Extrema unter Nebenbedingungen

Meine Frage:
Hallo Leute,

folgende Aufgabe smile

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = A \cdot 2^x \cdot 3^y , \ \ A>0 \end{eqnarray*}$ soll unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ maximiert werden.

Ich wollte das zunächst mit Lagrange machen, aber das Gleichungssystem ist echt übel (oder ich aus der Übung)

Bei Substitutionsverfahren bekommt man ja auch hässliche Terme. Daher die Frage:

Übersehe ich irgendwas oder ist tatsächlich Stur Lagrange oder Substitutionsverfahren anzuwenden?

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe
LG Stevie

07.09.2017, 22:30

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Man könnte die Nebenbedingung nach y auflösen und in f einsetzen

08.09.2017, 07:48

HAL 9000

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Eine gewisse Erleichterung sollte bringen, wenn man statt $\begin{align*} f(x,y) \end{align*}$ die Funktion $\begin{align*} g(x,y):=\ln(f(x,y)) \end{align*}$ maximiert, dann ist nämlich

$\begin{align*} g(x,y) = \ln(A) + x\ln(2) + y\ln(3) \end{align*}$ .

Das kann man machen, da wegen der Monotonie der Logarithmusfunktion die Funktion $\begin{align*} f(x,y) \end{align*}$ genau dort ein Maximum annimmt, wo dies $\begin{align*} g(x,y) \end{align*}$ tut.

08.09.2017, 08:10

steviehawk

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Danke,

@HAL9000, genau diese Erleichterung ist die Aufgabe, b) aber das schließt ja nicht aus, sie in a) als Trick dennoch zu verwenden mit der entsprechenden Argumentation Big Laugh

08.09.2017, 09:15

HAL 9000

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Hmmm, auch mit dem "normalen" Lagrangeansatz

$\begin{align*} L(x,y,\lambda) = A\cdot 2^x\cdot 3^y + \lambda(x^2+y^2-1) \end{align*}$

kommt man eigentlich rasch auf die Bedingung $\begin{align*} x\ln(3) = y\ln(2) \end{align*}$ , was in $\begin{align*} x^2+y^2-1=0 \end{align*}$ eingesetzt dann unmittelbar die beiden Kandidatenpunkte für die Extreme ergibt.

Der obige Übergang zum Logarithmus ist für mich nur so selbstverständlich durch die entstehende einfache lineare Struktur, dass ich oben gar nicht in Betracht gezogen hatte den Originalweg mal durchzurechnen, zumal du ihn übertriebenerweise als "übel" klassifiziert hattest. Augenzwinkern

08.09.2017, 10:20

steviehawk

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Zitat:

Original von HAL 9000

übertriebenerweise als "übel" klassifiziert hattest. Augenzwinkern

war wohl etwas faul um die Uhrzeit Big Laugh

08.09.2017, 10:25

Ehos

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Man kann die Aufgabe auf ein eindimensionales Problem zurückführen (Schulmathematik). Wie HAL 9000 schon sagte, sucht man nicht die Extrema der Funktion f(x,y), sondern der Funktion $\begin{eqnarray*} \ln([f(x,y)] \end{eqnarray*}$ . Man betrachte also die Funktion

$\begin{eqnarray*} g(x,y)=\ln[\underbrace{A\cdot 2^x\cdot 3^y}_{f(x,y)}]=\ln(A)+x\cdot \ln(2)+y\cdot \ln(3) \end{eqnarray*}$

Da nur die Extrema auf dem Einheitskreis $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$ gesucht werden, setzt man oben die Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} x=\cos(\phi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=\sin(\phi) \end{eqnarray*}$ ein und erhält die Zielfunktion

$\begin{eqnarray*} g(\phi)=\ln(A)+\cos(\phi)\cdot \ln(2)+\sin(\phi)\cdot\ln(3) \end{eqnarray*}$

Man hat also nur noch eine Funktion mit einer Variablen $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ . Das Berechnen der Extrema ist nunmehr Schulmathematik.

08.09.2017, 10:35

HAL 9000

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Dieses $\begin{align*} g \end{align*}$ ist überdies (abgesehen von ln(A)) nichts weiter als eine phasenverschobene Sinus- bzw. Kosinusfunktion: Nutzt man die Polarkoordinaten $\begin{align*} (r,\theta) \end{align*}$ des kartesischen Punktes $\begin{align*} (\ln(2),\ln(3)) \end{align*}$ , konkret sind das $\begin{align*} r=\sqrt{(\ln(2))^2+(\ln(3))^2} \end{align*}$ und $\begin{align*} \theta = \arctan\left(\frac{\ln(3)}{\ln(2)}\right) \end{align*}$ , dann hat $\begin{align*} g \end{align*}$ die Darstellung

$\begin{align*} g(\phi) = \ln(A) + r\cos(\phi-\theta) \end{align*}$ ,

an der man direkt Maximumstelle $\begin{align*} \phi_{\max}=\theta \end{align*}$ mit Maximumwert $\begin{align*} g(\phi_{\max})=\ln(A)+r \end{align*}$ und auch Minimumstelle $\begin{align*} \phi_{\min}=\pi+\theta \end{align*}$ mit Minimumwert $\begin{align*} g(\phi_{\max})=\ln(A)-r \end{align*}$ ablesen kann.

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