Komplexer Logarithmus

08.09.2017, 18:01	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexer Logarithmus Hallo, folgende Aufgabe beschäftigt mich gerade: "Use logarithms to find all solutions of the following equations." Habe mir dann folgende Gleichung mal ausgesucht: $\begin{eqnarray} (e^z-1)^3=1 \end{eqnarray}$ Meine Lösung sieht nun so aus. Also erstmal logarithmieren: $\begin{eqnarray} 3\log(e^z-1)+2ki\pi=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \log(e^z-1)=-\frac{2}{3}k i \pi \end{eqnarray}$ Dann wieder die exp-Funktion anwenden: $\begin{eqnarray} e^z-1=\exp\left(-\frac{2}{3}k i \pi\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^z=1+\exp\left(-\frac{2}{3}k i \pi\right) \end{eqnarray}$ Und nun wieder logarithmieren: $\begin{eqnarray} z+2k^{}\pi i=\log\left(1+\cos\left(-\frac{2}{3}k \pi\right)+i\sin\left(-\frac{2}{3}k \pi\right)\right) \end{eqnarray}$ Dann gilt ja: $\begin{eqnarray} \log(z)=\text{Log}\|z\|+i\arg(z) \end{eqnarray}$ Für verschiedene $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ erhalte ich dann damit: $\begin{eqnarray} z=\text{Log}(2)-2k^{}\pi i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=i\left(\frac{\pm \pi}{3}+2k^{}\pi\right) \end{eqnarray*}$ Habe ich nun den komplexen Logarithmus richtig angewendet? Sieht mir auch ziemlich umständlich aus?! Vermutlich würde es einfacher werden, wenn man erst substituiert und dann die Wurzel zieht, oder? Habe mich versucht aber an die Aufgabenstellung zu halten.
09.09.2017, 10:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen, das stimmt. Allerdings hätte ich den ersten Schritt durch Ziehen der dritten Wurzel erledigt. Mit $\begin{align} \omega = \operatorname{e}^{\frac{2}{3} \pi \operatorname{i}} \end{align}$ als dritter Einheitswurzel gilt dann $\begin{align} \operatorname{e}^z - 1 = \omega^n \, , \ \ n=0,1,2 \end{align}$ Für $\begin{align} n=1 \end{align}$ oder $\begin{align} n=2 \end{align}$ führt die Addition von 1 auf sechste Einheitswurzeln, wie die Zeichnung zeigt (beachte die gleichseitigen Dreiecke in Folge der 60°-Winkel). Insbesondere sind deren Beträge 1 und die Argumente $\begin{align} \pm \frac{\pi}{3} \end{align}$ (Hauptzweig des Arguments). [attach]45244[/attach] $\begin{align} \operatorname{e}^z = \omega^n + 1 \end{align}$ Wenn $\begin{align} \log \end{align}$ den mehrdeutigen komplexen natürlichen Logarithmus bezeichnet und $\begin{align} \ln \end{align}$ den reellen natürlichen Logarithmus, gilt: $\begin{align} z = \log \left( \omega^n + 1 \right) \end{align}$ Sämtliche Lösungen sind somit $\begin{align} n=0: \ \ z = \ln(2) + 2 \pi \operatorname{i} k \, , \ \ k \in \mathbb{Z} \end{align}$ $\begin{align} n=1: \ \ z = \operatorname{i} \, \left( \frac{\pi}{3} + 2 \pi k \right) \, , \ \ k \in \mathbb{Z} \end{align}$ $\begin{align} n=2: \ \ z = \operatorname{i} \, \left( - \frac{\pi}{3} + 2 \pi k \right) \, , \ \ k \in \mathbb{Z} \end{align}$ So hätte ich die Aufgabe verstanden: einmal den komplexen Logarithmus anwenden, in jedem der drei Fälle.
10.09.2017, 18:48	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, vielen Dank (auch für dein schönes Bild)! Ok - das macht auch Sinn, wie du die Aufgabe verstehst. Es freut mich aber, dass wir zum gleichen Ergebnis kommen. Habe deine Rechnung auch noch mal nachvollzogen. Als letzte Aufgabe zu diesem Kapitel hatte ich mir nun noch 2 Beweise ausgesucht: [attach]45248[/attach] Also die 24 war nun kein Problem. Mein Weg sieht so aus: $\begin{eqnarray} \Re\left[\log(re^{i\theta}-1)\right]=\Re\left[\log(rcis(\theta)-1)\right]=\text{Log}\sqrt{(r\cos(\theta)-1)^2+r^2\sin^2(\theta)}=\text{Log}\sqrt{(r^2(\cos^2(\theta)+sin^2(\theta))-2r\cos(\theta)+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{2}\text{Log}(r^2-2r\cos(\theta)+1) \end{eqnarray}$ Also das scheint zu stimmen. In der Aufgabe fehlt natürlich das Argument des Kosinus. Wenn ich nun bei 23 identisch vorgehe lande ich bei: $\begin{eqnarray} \Re\left[\log(1+e^{i\theta})\right]=\Re\left[\log(cis(\theta)+1)\right]=\text{Log}\sqrt{1+2\cos(\theta)+\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)}=\text{Log}\sqrt{2+2\cos(\theta)} \end{eqnarray}$ Nun sehe ich nicht wirklich wieso das identisch mit der rechten Seite sein soll. Ich verstehe schon die Notation auch nicht. So wie ich es verstehe, könnte man doch die 2 kürzen?! Ist da vll auch noch ein Druckfehler? Oder bin ich gerade zu blöd (was ich eher glaube)? Dir einen schönen Sonntag-Abend! edit: Ahh - ich glaube doch ein Druckfehler. Also müsste es so sein?! $\begin{eqnarray} \text{Log}\sqrt{2+2\cos(\theta)}=\text{Log}\sqrt{\frac{4+4\cos(\theta)}{2}}=\text{Log}\left\|2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right\| \end{eqnarray}$ Dann wäre da nur ein Theta zu viel.
10.09.2017, 22:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ist ein Druckfehler. Man kann das Ergebnis übrigens auch so sehen: $\begin{align} \log\left(1+e^{i\theta}\right) = \log\left(e^{i\frac{\theta}{2}}\cdot 2\cosh\left(i\frac{\theta}{2}\right)\right) = \log\left(e^{i\frac{\theta}{2}}\cdot 2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right) \end{align}$

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