Konvergenz Primreihe

09.09.2017, 13:16

matheidiot123

Konvergenz Primreihe

Meine Frage:
Zeigen Sie,dass die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{p \in \mathbb P} \frac{1}{p*ln(p)} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Hi

Die Reihe konvergiert ,wenn die Folge $\begin{eqnarray*} a_p:=\frac{1}{p*ln(p)} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

$\begin{eqnarray*} a_p \ge a_{p+1}=\frac{1}{p*ln(p)} \ge\frac{1}{(p+1)*ln(p+1)}\Leftrightarrow (p+1)*ln(p+1)\ge p*ln(p) \end{eqnarray*}$ da der ln stetig ist und positive Funktionswerte hat. $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (p+1)\ge p \Leftrightarrow 1\ge 0 \end{eqnarray*}$ wahr aussage. Somit ist die Folge monoton fallend und nach unten durch die 0 beschränkt ,deshalb ist sie konvergent und somit konvergiert die reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{p \in \mathbb P} \frac{1}{p*ln(p)} \end{eqnarray*}$

bitte um kommentar und tipps:

dank an euch alle smile

09.09.2017, 14:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von matheidiot123
Zeigen Sie,dass die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{p \in \mathbb P} \frac{1}{p*ln(p)} \end{eqnarray*}$

Der Satz ist unvollendet!!! Da fehlt ein Wort - welches? Zur Wahl stehen wohl "konvergiert" oder "divergiert". Augenzwinkern

Zum Inhalt: Es ist übrigens $\begin{align*} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\cdot \ln(n)} = \infty \end{align*}$ , insofern stimmen zumindest deine Überlegungen nicht. Zur Konvergenz der Reihe $\begin{align*} \sum_{p \in \mathbb P} \frac{1}{p\cdot \ln(p)} \end{align*}$ muss man also eine feinere Klinge führen als die Grobabschätzung durch alle natürlichen Zahlen. Augenzwinkern

09.09.2017, 16:47

matheidiot123

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Konvergiert* Big Laugh

Ich mach mit dem integralvergleichskriterium

$\begin{eqnarray*} \sum_{p \in \mathbb P} \frac{1}{p*ln(p)}= lim_{N \to \infty,N \in \mathbb P}\int_{2}^{N} \! \frac{1}{p*ln(p)} \, dp = lim_{N \to \infty,N \in \mathbb P} ln(ln(N))-ln(ln(2)) \end{eqnarray*}$

Aber jetzt komm ich irgendwie nicht weiter...:/

09.09.2017, 17:04

HAL 9000

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Tja, womit du wohl deutlich bewiesen hast, dass du über meinen Beitrag nicht wirklich nachgedacht hast:

Ich hatte gerade eben betont, dass die Abschätzung der Reihe über die Primzahlindizes durch die Reihe über alle Indizes sinnlos ist, und du versuchst es trotzdem erneut. unglücklich

-------------------------------------------

Du benötigst eine brauchbare Abschätzung für die $\begin{align*} n \end{align*}$ -te Primzahl $\begin{align*} p_n \end{align*}$ , wie z.B. $\begin{align*} p_n > n\ln(n) \end{align*}$ , ich weiß nicht, was du in der Richtung schon kennengelernt hast bzw. benutzen darfst. Damit kann man dann folgern

$\begin{align*} \sum_{\substack{p\in\mathbb{P}\\p\geq 5}} \frac{1}{p\ln(p)} = \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{p_n\ln(p_n)} < \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n\ln(n)\ln(n\ln(n))} < \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n(\ln(n))^2} \end{align*}$ ,

und die Konvergenz letzterer Reihe kann man zeigen.

11.09.2017, 12:29

matheidiot123

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hi,

ja ich hatte einige Denkfehler. Ich wollte dich auf keinen Fall beleidigen oder ähnliches,in dem deine Hinweise und Hilfe nicht beachte.Entschuldigung!!!!

Also:
$\begin{eqnarray*} \sum_{\substack{p\in\mathbb{P}\\p\geq 5}} \frac{1}{p\ln(p)} = \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{p_n\ln(p_n)} < \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n\ln(n)\ln(n\ln(n))} < \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n(\ln(n))^2} \end{eqnarray*}$

jetzt das Integralvergleichskriterium

$\begin{eqnarray*} \int_{3}^{\infty} \frac{1}{x(\ln(x))^2} dx = lim_{n \to \infty} [-\frac{1}{\ln(n)}]_3^{n} =lim_{n \to \infty} -\frac{1}{\ln(n)}+\frac{1}{\ln(3)}=0,91024 \end{eqnarray*}$

damit konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n(\ln(n))^2} \end{eqnarray*}$ als Majorante und somit auch die Reihe [l]\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{p_n\ln(p_n)}[/l

ist das so einigermaßen akzeptabel?

viele grüße]

11.09.2017, 12:48

HAL 9000

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Ja, so ungefähr ist es richtig. Allerdings ist der Reihenwert nicht gleich dem Integralwert, wie du es oben bei dem anderen Summanden

Zitat:

Original von matheidiot123
$\begin{eqnarray*} \sum_{p \in \mathbb P} \frac{1}{p*ln(p)}= lim_{N \to \infty,N \in \mathbb P}\int_{2}^{N} \! \frac{1}{p*ln(p)} \, dp \end{eqnarray*}$

geschrieben hattest, sondern der Reihen- besser Partialsummenwert wird durch ein entsprechendes Integral nach oben abgeschätzt, hier wäre das

$\begin{align*} \sum_{n=3}^N \frac{1}{n(\ln(n))^2} ~{\color{red}\leq}~ \int\limits_2^N \frac{1}{x(\ln(x))^2} ~ \dd x \end{align*}$ .

Was die Abschätzung von $\begin{align*} p_n \end{align*}$ betrifft: Ich verstehe dich jetzt so, dass du das von mir ins Spiel gebrachte, nicht ganz einfach zu beweisende $\begin{align*} p_n > n\ln(n) \end{align*}$ wirklich verwenden darfst? Weil du dich andernfalls nach anderen, ggfs. schwächeren aber für die Konvergenz der obigen Summe immer noch ausreichenden Aussagen umschauen musst.

11.09.2017, 12:58

matheidiot123

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Der paragraph zu diesem Thema ist ziemlich kurz gehalten. Ich hab folgendes zur Verfügung : $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{p_k} \end{eqnarray*}$ divergiert mit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ als primzahl und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}n ln(n) <p_n<3nln(n). \end{eqnarray*}$ Würde ich jetzt theoretisch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}n ln(n) <p_n<3nln(n) \end{eqnarray*}$ verwenden,hätte ich doch ähnlich Abschätzung wie deine bekommen oder? Falls ja,tut's mir wirklich leid,dass ich es nicht erkannt habe,es ist mir gerade auch erstaufgefallen. Sorry Sorry!

11.09.2017, 13:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von matheidiot123
und $\begin{eqnarray*} {\color{red}\frac{1}{2}n ln(n) <p_n}<3nln(n). \end{eqnarray*}$

Na das reicht doch: Der Faktor $\begin{align*} \frac{1}{2} \end{align*}$ stört ja weiter nicht, den schleifst du mit, und auch wenn das Integral der oberen Abschätzung damit um den Faktor 2 größer ist als oben, ist es doch immer noch konvergent. Augenzwinkern

EDIT: Ok, man muss dann korrekterweise etwas später anfangen, denn meine Abschätzung oben müsste ja dann so verändert werden

$\begin{align*} \frac{1}{p_n\ln(p_n)} < \frac{1}{\frac{1}{2}n\ln(n)\ln\left(\frac{1}{2}n\ln(n)\right)} \stackrel{?}{<} \frac{2}{n(\ln(n))^2} \end{align*}$ ,

wobei Abschätzung $\begin{align*} \stackrel{?}{<} \end{align*}$ ja tatsächlich $\begin{align*} \ln(n) > 2 \end{align*}$ erfordert, was erst für $\begin{align*} n\geq 8 \end{align*}$ erfüllt ist! Ist aber kein Beinbruch, endlich lange Anfangsstücke der Summe kann man ja aussparen und extra behandeln. Augenzwinkern

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Man kann übrigens folgendes verallgemeinerndes Fazit ziehen:

Zitat:

Aus der Eigenschaft Konvergenz für $\begin{align*} \alpha>1 \end{align*}$ und Divergenz für $\begin{align*} \alpha\leq 1 \end{align*}$ der Reihe $\begin{align*} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln(n))^{\alpha}} \end{align*}$ kann man via Einschachtelung $\begin{align*} \frac{1}{2}n \ln(n) <p_n<3n\ln(n) \end{align*}$ auf Konvergenz für $\begin{align*} \beta>0 \end{align*}$ und Divergenz für $\begin{align*} \beta\leq 0 \end{align*}$ der Reihe $\begin{align*} \sum_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{p(\ln(p))^{\beta}} \end{align*}$ schließen.

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