Ableitung der L2 Norm/ Skalarprodukt

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alina94 Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung der L2 Norm/ Skalarprodukt
Hey,

ich habe hier eine Formel aus dem Bereich der Navier-Stokes Gleichungen, nämlich

,

wobei u von der Zeitvariablen und den Raumvariablen abhängt, und bin mir nicht ganz sicher ob ich die richtige Herleitung dafür gefunden habe. Also mein Ansatz ist:

,

wobei die euklidische Norm und das euklidische Skalarprodukt bezeichnen. Wäre super wenn mir kurz jemand sagen könnte ob das so stimmt. Und ich meine auch, dass das Ganze in der Vorlesung noch einfacher bewiesen wurde ohne die vielen Umformungen, vielleicht weiß da noch jemand einen weiteren Ansatz?

Danke schon mal wieder im Voraus! smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung der L2 Norm/ Skalarprodukt
Mit genügend Regularitätsannahmen an stimmt das. Z.B. mit ein paar Integrationsbedingungen, falls . Du benutzt naemlich, dass die Funktion fuer fast alle differenzierbar ist, wenn du es ins Integral schreibst.

Allerdings braucht man eigentlich nur .

Für und ist , einfach nur die Linearität vom Skalarprodukt in der ersten Komponente benutzt. Wenn ebenfalls von abhängt, braucht man die Produktregel, die 1:1 wie in Analysis 1 bewiesen werden kann.

Alternative zum direkten Herleiten der Produktformel:
Definiert man nun mit . Es ist einfach zu sehen, dass die Abbildung (Frechet/Gateaux) differenzierbar ist, mit . Mit der Kettenregel folgt nun ebenfalls die Produktregel.
alina94 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung der L2 Norm/ Skalarprodukt
Zitat:
Original von IfindU
Allerdings braucht man eigentlich nur .

Für und ist , einfach nur die Linearität vom Skalarprodukt in der ersten Komponente benutzt. Wenn ebenfalls von abhängt, braucht man die Produktregel, die 1:1 wie in Analysis 1 bewiesen werden kann.



Ah ja, genau auf so etwas hatte ich gehofft. Das wäre dann einfach



wenn ich das richtig verstehe. Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung der L2 Norm/ Skalarprodukt
Genau das meinte ich Freude
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