Eigenvektoren, Eigenwerte, Involution & Addition von Funktionen

09.09.2017, 21:09	chuchuba	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektoren, Eigenwerte, Involution & Addition von Funktionen Meine Frage: Hallo zusammen, ich bin ganz neu hier und bin schon echt lange an einer Aufgabe und stehe voll auf dem Schlauch. Es ist eine Klausuraufgabe, die ich versuche zu verstehen: Sei $\begin{eqnarray} f: V \rightarrow V \end{eqnarray}$ ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraums $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f^4=id_V \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ bel. und $\begin{eqnarray} T = id_V + f + f^2 + f^3 \end{eqnarray}$ . Unter welcher Voraussetzung ist $\begin{eqnarray} Tv \end{eqnarray}$ ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ? Wie lautet in diesem Fall der zugehörige Eigenwert? Meine Ideen: Leider habe ich noch gar keine Ideenansätze. Was ich weiß ist, dass $\begin{eqnarray} f^2 = (f^2)^{-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(Tv) = \lambda Tv \end{eqnarray}$ . Wäre echt cool wenn ich HIlfe bekommen könnte! Danke im Voraus EDIT(Helferlein): Latex korrigiert. Der Endtag lautet /latex und nicht \latex
09.09.2017, 21:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(Tv) \end{eqnarray}$ kannst du berechnen und mit $\begin{eqnarray} \lambda Tv \end{eqnarray}$ vergleichen. Das ergibt die Antwort.
09.09.2017, 22:07	chuchuba	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön!
10.09.2017, 08:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne, deine Idee, die Eigenwertgleichung aufzustellen, war gut. In jedem konkreten Fall muss man sie dann untersuchen, indem man alles Bekannte einsetzt. Hier ist T bekannt, wird also in beide Seiten eingesetzt. Wie würdest du das Ergebnis beschreiben ?

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