Ungleichungen Nachschlagen

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Iceman700 Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichungen Nachschlagen
Meine Frage:
Hallo,
ich möchte für meine wissenschaftliche Arbeit zwei Ungleichungen benutzen, die in meiner Quelle einfach vom Himmel fallen ohne bewiesen zu werden. Nun kann ich diese für mich aber nur übernehmen, wenn ich sie entweder selbst bewiesen bekomme, oder sie nachschlagen könnte. In der Bibliothek habe ich dazu Bücher mit Namen wie "general inequalities" etc. aufgeschlagen und gemerkt, dass selbst, wenn die Ungleichung die ich suche dort vorkommen würde, ich kaum eine Chance hätte sie zu finden. Kennt nun jemand eine Formelsammlung oder Buch mit dem man z.B. gezielt nach Ungleichungen suchen kann, die die Exponentialfunktion enthalten o.Ä.?

Für den Fall, dass jemand den direkten Beweis dazu aus dem Ärmel schütteln kann, hier meine beiden Ungleichungen:
1.
2. Sei die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, dann gilt . Dabei ist nach meinen Berechnungen .

Falls jemandem was einfällt, bin ich sehr dankbar smile
Grüße Iceman


Meine Ideen:
Ich habe mir bei beiden Ungleichungen beide Seiten plotten lassen und mich wenigstens graphisch von ihrer Korrektheit überzeugt.
Bei 2. schätze ich, dass eine Zerlegung der Reellen Zahlen in geschickte Intervalle das ganze evtl. easy aussehen lässt, aber 1. halte ich bislang für schwer im direkten Beweis.
alina94 Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Gleichung müsste relativ gut zu zeigen sein: Für ist offenbar

.

Für sind beide Seiten und in sind beide Seiten glatt und da für die jeweiligen Ableitungen gilt



in ganz sollte die Abschätzung insbesondere auch für folgen. Und da beide Funktionen achsensymmetrisch sind gilt das dann für die kompletten reellen Zahlen. Ist aber schon spät, deshalb alles ohne Gewähr!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@alina Ich sehe nicht, wie du es fuer negative folgern willst.

Aber man kann den Ansatz etwas verfeinern. Für beachte man, dass
für ein nach Mittelwertsatz. Mit Monotonie also .
Beträge nehmen und umstellen und es steht da.

Wenn man lieber direkt rechnet, so kann man die Potenzreihendarstellung von benutzen, d.h. . Etwas umgeschrieben ist das
. Nun kann man es in einsetzen und nach der Dreiecksungleichung und , steht das gewuenschte da.

Ansonsten: Wenn der Autor nicht einen Namen nennt oder auf eine Quelle verweist, wird es eine elemenatare
Ungleichung sein. Wie ich hoffe hier gezeigt zu haben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iceman700
2. Sei die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, dann gilt . Dabei ist nach meinen Berechnungen .

Deine Berechnung von ist richtig. Geh einfach noch einen Schritt weiter: Aus



folgt, dass für monoton wachsend und für monoton fallend ist, außerdem ist eine gerade Funktion mit . Daraus folgt , und du musst nur noch die beiden Werte rechts ausrechnen. Augenzwinkern
alina94 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
@alina Ich sehe nicht, wie du es fuer negative folgern willst.


Ah ja klar, die linke Seite ist natürlich nicht achsensymmetrisch, mein Fehler. Macht dann natürlich keinen Sinn was ich für negative Werte gesagt habe.
Iceman700 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank euch dreien, habt mir sehr weitergeholfen!
@IfindU: Das mit der Potenzreihe gefällt mir sogar noch besser, da es so direkt ist.

Also ich sehe ein, dass das keine riesen Probleme waren, aber das waren die letzten beiden, wo ich auf dem Schlauch stand, danke euch!
 
 
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