Lineare Hülle und Untervektorraum

11.09.2017, 11:38

Insektenspray

Lineare Hülle und Untervektorraum

Meine Frage:
Ich habe mal eine Frage zu einer Aufgabe.

Gegeben sind zwei Vektoren:

$\begin{eqnarray*} v_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, v_{2} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und den Untervektorraum :

V= $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} : a-3b+c=0 \right\} \end{eqnarray*}$

Gefragt ist ob $\begin{eqnarray*} v_{1} \end{eqnarray*}$ in span{ $\begin{eqnarray*} v_{2} \end{eqnarray*}$ }+ V liegt.

Ich kann mir nicht ganz genau vorstellen wie das aussehen soll.

Meine Frage ist:
Kann man eine Gerade mit einer Ebene addieren? und wenn ja, wie macht man das?

Meine Ideen:
Ich habe die Formel für den untervektorraum in die Parametergleichung umgeformt.

V= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber dann kam ich auch nicht weiter.
Ich dachte man kann Gerade und Ebene dann einfach addieren und dann v1 einsetzen und gucken, ob da eine Lösung kommt. Aber da scheitere ich...

Bisher habe ich nur gefunden, dass man nur die Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade bestimmen kann.

11.09.2017, 12:05

PWM

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Hallo,

die Frage ist, ob es ein $\begin{eqnarray*} q \in R \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ gibt mit:

$\begin{eqnarray*} v_1=qv_2+v \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst Du die Darstellung für die Elemente aus V einsetzen. Die ist bei Dir allerdings falsch, oder liegt ein Druckfehler bei V vor?

Gruß pwm

11.09.2017, 12:19

Insektenspray

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also das Polynom von V ist richtig. Ich habe die Parametergleichung falsch aufgestellt

Die lautet:

V= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Soll ich dann diese Gleichung einfach einsetzen?

$\begin{eqnarray*} v_{1}= q \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann q,r,s bestimmen?

11.09.2017, 12:40

Insektenspray

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ich habe q,r,s mal ausgerechnet und dann geschaut ob da eine wahre Aussage rauskommt.

Und anscheinend liegt v1 nicht in dem Bereich Big Laugh

11.09.2017, 18:26

Helferlein

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Dann solltest Du deinen Rechnung präsentieren, damit wir Dir den Fehler zeigen können Augenzwinkern

11.09.2017, 20:39

Insektenspray

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oh.. klingt als hätte ich es doch nicht so ganz verstanden..

Also das habe ich raus:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> v_{1} = q*v_{2} +r* \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann habe ich v1 und v2 Eingesetz

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ 1\\0 \end{pmatrix} = q*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} +r* \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann q,r,s berechnet

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 &-1& 3 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

(habe das mit der Darstellung nicht besser hinbekommen, hoffe man sieht trotzdem was ich meine)

habe die zweite und die dritte Zeile getauscht.

Dann die erste Zeile minus die zweite Zeile

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2& -3 \\ 0 &0& 1 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

dann habe ich q,r,s bestimmt

q=3 , r=2, s=1

und dann in die erste Gleichung eingesetzt.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ 1\\0 \end{pmatrix} ?= 3*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} +2* \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ -1 \end{pmatrix} + 1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und bekam

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}1 \\ 1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

raus

11.09.2017, 21:28

Helferlein

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Das q ist falsch. Die erste Zeile bedeutet $\begin{align*} q+r=1 \end{align*}$ und Du weisst, dass $\begin{align*} r=2 \end{align*}$ ist. Wie sollte dann q=3 sein?

11.09.2017, 21:40

Insektenspray

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OH!!

Das war ein ziemlich peinlicher Rechenfehler xD!

Jetzt liegt auch mein v1 in span{v2}+V

Danke!! Big Laugh

!

Dann hatte ich es doch verstanden. Puh Hammer

11.09.2017, 22:36

HAL 9000

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seltsame Symbolik
Mal eine Frage:

Zitat:

Original von Insektenspray
V= $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} : a-3b+c=0 \right\} \end{eqnarray*}$

soll wohl eigentlich V= $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} : a_1-3a_2+a_3=0 \right\} \end{eqnarray*}$ bedeuten? verwirrt

12.09.2017, 09:19

Insektenspray

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oh jaa xD.. war zu faul die zahlen zu schreiben und habe vergessen, beim Vektor das auch in a,b und c zu verändern

12.09.2017, 10:00

HAL 9000

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Eigentlich kann man die Rechnung enorm abkürzen:

Wegen $\begin{align*} v_2\cdot \begin{pmatrix} 1\\ -3\\ 1\end{pmatrix} = 2\neq 0 \end{align*}$ liegt $\begin{align*} v_2 \end{align*}$ nicht in $\begin{align*} V \end{align*}$ , damit ist die Dimension von $\begin{align*} \operatorname{span}(v_2)+V \end{align*}$ gleich 3, und damit der gesamte $\begin{align*} \mathbb{R}^3 \end{align*}$ . Deshalb kann man ohne weitere Rechnung und überhaupt ohne konkrete Kenntnis von $\begin{align*} v_1\in\mathbb{R}^3 \end{align*}$ sofort die Frage bejahen, ob dieser Vektor in $\begin{align*} \operatorname{span}(v_2)+V \end{align*}$ liegt. Augenzwinkern

EDIT: Upps, hatte die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene V verwurstelt... korrigiert.

12.09.2017, 11:05

Insektenspray

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!
Das ist ja wirklich viel kürzer!

Das ist ja auch logisch, dass v1 da drin liegen muss, da span{v2}+V den Raum aufspannen.
LOL Hammer

Aber darauf kam ich nicht xD!

Danke HAL9000 für den Tipp

01.12.2017, 22:22

Hilfe1337

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habe genau die gleiche Aufgabe, kannst du mir erklären wie du auf den Vektor ( 1, 0, -1 ) kommst?

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Lineare Hülle und Untervektorraum

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