Fubini-Tonelli/Cavalieri

11.09.2017, 23:02

Matela99

Fubini-Tonelli/Cavalieri

Hallo!
Ich habe heute angefangen, mich mit Fubini-Tonelli und Cavalieri - Integralen zu beschäftigen.
Habe mir vor ein paar Stunden einige Übungsaufgaben vorgenommen, und bei einer hänge ich leider fest.

Ich bin mir außerdem noch nicht ganz sicher, ob ich den Unterschied zwischen Fubini-Tonelli und Cavalieri verstanden habe (hier wäre ich für eine kurze eigene Erklärung von jem. von euch dankbar).

Meine Aufgabe ist:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{1}{x²+y²} \, d(x,y) \end{eqnarray*}$
für 1<x²+y²<4

Ich versuche nun, die Grenzen zu bestimmen.

Habe raus, dass die Ungleichung gilt, wenn:
a: -2<x<-1, -sqrt(4 - x^2)<y<sqrt(4 - x^2)

b: 1<x<2, -sqrt(4 - x^2)<y<sqrt(4 - x^2)

Würde das Integral dann in ein Doppelintegral aufteilen und einmal für dx die Grenzen -2 bis 1 verwenden und für dy entsprechend -sqrt(4 - x^2)<y<sqrt(4 - x^2) .
Und dann nochmal ein zweites Integral analog mit den Grenzen bei b.

Brauche ich dann wirklich zwei Integrale? Die Ungleichung ist schließlich sowohl für x,y < 0 als auch für x,y < 0 lösbar. :-(

Bei den Integralen, die ich bisher gelöst habe, waren die Grenzen immer klar, aber jetzt finde ich das sehr schwierig. traurig

Liebe Grüße!

11.09.2017, 23:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Matela99
Habe raus, dass die Ungleichung gilt, wenn:
a: -2<x<-1, -sqrt(4 - x^2)<y<sqrt(4 - x^2)

b: 1<x<2, -sqrt(4 - x^2)<y<sqrt(4 - x^2)

Und das ist alles? Du bist dann also der Meinung, dass es keine Punkte $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ mit $\begin{align*} -1\leq x\leq 1 \end{align*}$ gibt, welche die Ungleichung $\begin{align*} 1<x^2+y^2<4 \end{align*}$ erfüllen? Denk nochmal nach.

11.09.2017, 23:18

Matela99

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Ups!
Doch, natürlich:

$\begin{eqnarray*} -1\leq x \leq 1 , \sqrt{1-x²} <y< \sqrt{4-x²} und -\sqrt{4-x²} < y < -\sqrt{1-x²} \end{eqnarray*}$

11.09.2017, 23:55

Zeos

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Sieht für mich aus wie ne Aufgabe vom guten alten Guido ;D
Ich hab hier jeweils Polarkoordinaten genutz. D.h von 0 bis 2 pi für phi und die Grenze 1 bis 2 für r.

12.09.2017, 10:10

HAL 9000

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Zur Berechnung des Integralwerts ist das natürlich die bessere, übersichtlichere Variante.

Ich habe aber Matela99 mit ihrem bewusst deutlichen Bezug auf Cavalieri so verstanden, dass sie es über die iterierten Integrale der kartesischen Koordinaten angehen will - auch wenn dies komplizierter ist.

12.09.2017, 17:33

Matela99

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Ja, die ist vom Guido ;-).

Okay, dass es mit Polarkoordinaten praktischer ist, sehe ich. Bin irgendwie doch interessiert an beiden Lösungswegen.
Erst mal zu den kartesischen Koordinaten:

Habe jetzt hoffentlich alle Lösungen für die Ungleichung gefunden... ich weiß aber nicht, was ich jetzt mit denen mache. Muss ich jetzt vier verschiedene Doppelintegrale betrachten? (da 4 versch. Lösungen)
Und kann ich dann einfach z.B wie bei meiner Lösung a sagen, dass die Grenzen so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{-1} \! dx \int_{-\sqrt{4-x²} }^{\sqrt{4-x²} } \! dy \end{eqnarray*}$

Puh, (wo) habe ich einen Gedankenfehler?

Anmerkung zu deinem Vorschlag zu den Polaarkoord. :

Hm, ich würde r von 1-2 wählen und phi von 0 bis pi, denn sobald ich r zwischen 1 und 2 wähle, bewege ich mich ja ausschließlich in den Quadranten 1 und 4 im Koordinatensystem. Und somit betrachte ich ja nur den "rechten" Teil des der Menge / des Kreises... -> Halbkreis, also nur pi....
verwirrt

12.09.2017, 17:39

HAL 9000

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Unter Physikern mag diese Art Termpositionierung bei Integralen ja durchaus Usus zu sein, bei den meisten Mathematikern jedoch nicht! Außerdem hast du die eigentliche Integrandenfunktion von oben weggelassen (was Integrand 1 entspricht), warum das? Es geht also tatsächlich bei dem ersten Teilintegral um $\begin{align*} \int\limits_{-2}^{-1} \int\limits_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \frac{1}{x^2+y^2} ~ \dd y ~ \dd x \end{align*}$ .

12.09.2017, 18:08

Matela99

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Welche Termpositionierung? ^^ :s

Okay, danke!
Dass ich den Integranden weggelassen hab, ist nur meiner Faulheit zuzuschreiben :sorry:

Ist das nächste Teilintegral dann:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \! \int_{\sqrt{1-x²} }^{\sqrt{4-x²} } \! f(\frac{1}{x²+y²} ) \, dx dy \end{eqnarray*}$

12.09.2017, 18:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Matela99
Welche Termpositionierung? ^^ :s

Das x-Integral bereits "abgeschlossen", und dann rechts davon das y-Integral schreiben, dessen Grenzen noch von x abhängen ... Kotzen

Dass du es anscheinend mit der Symbolik nicht so genau nimmst, merkt man jetzt gleich wieder hier

Zitat:

Original von Matela99
Ist das nächste Teilintegral dann:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \! \int_{\sqrt{1-x²} }^{\sqrt{4-x²} } \! f(\frac{1}{x²+y²} ) \, dx dy \end{eqnarray*}$

wo du die Reihenfolge dx und dy vertauscht hast - fatal, weil dadurch die Integralgrenzenzuordnungen total unsinnig werden. unglücklich

Außerdem: Wo kommt dieses $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ plötzlich her? Was soll das hier bedeuten? unglücklich

12.09.2017, 18:28

Matela99

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Hast schon recht, war unsauber, weiß ich. ^^

Das f hab ich nicht eingefügt (jedenfalls nicht per Tastatur getippt), hab da wohl im Formeleditor was falsch gemacht.
Hoffe, es stimmt jetzt:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} \! \int_{\sqrt{1-x²} }^{\sqrt{4-x²} } \! \frac{1}{x²+y²} \, dy dx \end{eqnarray*}$

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