Lineare Abhängigkeit Vektoren und Matrizen

12.09.2017, 12:02	Miaful00	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abhängigkeit Vektoren und Matrizen Meine Frage: Hey ihr lieben in meiner Aufgabe geht es um den Zusammenhang von Matrizen und Vektoren und ihrer linearen Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit : Sei nun A eine Matrix aus R 2,2 und seien v1, v2 Vektoren aus R2 Beweisen oder widerlegen Sie Sie folgende Aussagen: a) Sind v1 und v2 linear abhangig, so sind auch Av1 und Av2 linear abhangig. b) Sind Av1 und Av2 linear abhangig, so sind auch v1 und v2 linear abhangig. c) Sind v1 und v2 linear unabhangig, so sind auch Av1 und Av2 linear unabhangig. d) Sind Av1 und Av2 linear unabhangig, so sind auch v1 und v2 linear unabhangig. Meine Ideen: Ich hab hier ueblegt mit den Determinanten zu arbeiten und zu zeigen dass diese im jeweiligen Fall nicht O bzw sowohl für den Vektoren als auch für die Matrizen 0 sind. Aber das es allgemein bewiesen sein muss finde ich leider keinen konkreten Ansatz und bitte hier um Hilfe.
12.09.2017, 12:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
a) $\begin{eqnarray} v_1=av_2 \end{eqnarray}$ Berechne $\begin{eqnarray} Av_1 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} A=0\Rightarrow Av_1=Av_2=0 \end{eqnarray}$ Kann man daraus irgend etwas über $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ schließen ? c) siehe b) d) Beweis durch Widerspruch. Nimm an, $\begin{eqnarray} v_1=av_2 \end{eqnarray}$ und berechne $\begin{eqnarray} Av_1 \end{eqnarray}$ (vergleiche a))
12.09.2017, 15:45	miaful00	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke sehr Elvis. Aber wie genau Bild ich denn die Matrix Av1 ? Das ist nämlich mein grosser Knackpunkt. Weil die Matrizen soll ja 2x2 quadratisch sein obwohl ich sie aus einem zweidimensionalen Vektor bilden soll ?
12.09.2017, 17:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte mitdenken und mitmachen. $\begin{eqnarray} Av_1 \end{eqnarray}$ ist keine Matrix sondern das Bild von $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ unter der zu $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ gehörigen linearen Abbildung, also ein Vektor. a) $\begin{eqnarray} v_1,v_2\; l.a.\Rightarrow \exists a: v_1=av_2\Rightarrow Av_1=A(av_2)=a(Av_2)\Rightarrow Av_1,Av_2\;l.a. \end{eqnarray}$

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