Wegstrecke auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit berechnen

12.09.2017, 14:13

Mydreams

Wegstrecke auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit berechnen

Hallo Matheforum.

Das hier ist mein erster Post, ich hoffe alles richtig zu machen smile

Ich beschäftige mich gerade eigenständig mit einem Projekt, welches mir selbst eingefallen ist. Mehr als um das eigentliche Ziel geht es mir aber eher um den Weg, also die Übung in der Differentialgeometrie. Auch sei gesagt dass ich mich zum erstem Mal aktiv mit diesem Bereich befasse, obwohl ich genügend darüber gelesen habe. Ich entschuldige mich schon im Voraus für falsche Formulierungen und Zeichen.

Ich wollte versuchen, 2 meiner Lieblingsthemen zu verbinden, nämlich den sogenannten "random walk" und die Differentialgeometrie. Eine ausführliche Beschreibung meiner Idee gebe ich ein anderes Mal hier rein, sonst wird dieser schon nicht kurze Text ewig lang.

Um zu meiner Frage zu kommen:
Ich müsste mir die zurückgelegte Strecke auf einer 2-dimensionaler Mannigfaltigkeit im 3 dimensionalem euklidischem Raum ausrechnen. Ich kenne die Formel für die Stecke auf einer Kurve, aber ich kann mir daraus nicht die Formel ausrechnen, die ich brauche. Das Problem ist, dass die Funktion der Mannigfaltigkeit von 2 Variablen abhängig ist.

Mein Zugang war
$\begin{eqnarray*} ds=\sqrt{(dx)^{2}\cdot (dy)^{2} \cdot (dh(x;y))^{2}} \end{eqnarray*}$

s ist hier die Strecke, also die gesuchte Variable. Ich bräuchte aber die Strecke zwischen den Punkten A1 und A2, nicht die Annäherung auf minimale Strecken...

Ich würde mich sehr über einen Hinweis freuen, und hoffe dass ich nicht alle Formulierungen vermasselt habe Engel

12.09.2017, 15:09

HAL 9000

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Mit Erklärung der von dir verwendeten Symbole hältst du dich ja sehr bedeckt, aber wenn wir mal die naheliegendste Variante zugrunde legen, dann klingt $\begin{align*} \dd s \stackrel{?}{=} \sqrt{(\dd x)^2\cdot (\dd y)^2 \cdot (\dd h(x;y))^2} \end{align*}$ für ein infinitesimales Kurvenstück schon sehr falsch. Kann es sein, dass du eigentlich $\begin{align*} \dd s = \sqrt{(\dd x)^2 + (\dd y)^2 + (\dd h(x;y))^2} \end{align*}$ meinst? verwirrt

Zitat:

Original von Mydreams
Ich kenne die Formel für die Stecke auf einer Kurve, aber ich kann mir daraus nicht die Formel ausrechnen, die ich brauche. Das Problem ist, dass die Funktion der Mannigfaltigkeit von 2 Variablen abhängig ist.

Ähem, die Mannigfaltigkeit sowie die beiden Endpunkte darauf bestimmen allein ja auch noch nicht die Weglänge - die ist doch auch noch abhängig von dem zu nehmenden Weg zwischen beiden! In dem Sinne solltest du mal erklären, was genau du mit

Zitat:

Original von Mydreams
Ich bräuchte aber die Strecke zwischen den Punkten A1 und A2, nicht die Annäherung auf minimale Strecken...

wirklich meinst: Wenn es im Wortsinne wirklich die Strecke sein sollte, dazu brauchst du keine Mannigfaltigkeit, diese Strecke verläuft aber i.a. aber natürlich nicht auf der Mannigfaltigkeit $\begin{align*} h \end{align*}$ .

Möglicherweise meinst du aber die Kurve auf der Mannigfaltigkeit, die in der Draufsicht wie eine Strecke aussieht, diese Kurve kann parametriert werden durch

$\begin{align*} \left(x_1+t(x_2-x_1),y_1+t(y_2-y_1),h(x_1+t(x_2-x_1),y_1+t(y_2-y_1))\right) \end{align*}$ für $\begin{align*} 0\leq t\leq 1 \end{align*}$ ,

die hat i.a. aber nicht die minimale Weglänge aller auf h verlaufenden Kurven zwischen $\begin{align*} A_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} A_2 \end{align*}$ , womöglich wolltest du das mit dem letzten Nebensatz im Zitat aussagen. verwirrt

12.09.2017, 21:47

Mydreams

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Es tut mir leid dass ich die Symbole nicht erklärt habe, und danke dass du die Formel trotzdem interpretiert hast. Ja, ich habe den Punkt mit dem Pluszeichen vertauscht, das war ein Flüchtlichkeitsfehler.

Im Nachhinein betrachtet habe ich mich wirklich ungenau ausgedrückt. Ich meinte nicht den kürzesten Weg, sondern, wie du richtig angenommen hast, den Weg, der von oben gesehen wie eine Gerade aussieht.

Meine Formel hat mir nur ds geliefert, was ein sehr kleines Stück des Weges (was ich missverständlicherweise "minimale Strecke" genannt habe) definiert, nicht ganz s.

Die Parameterdarstellung würde sehr hilfreich sein, jedoch bin ich mit der von dir gebrauchten Darstellung nicht verwandt. Sorry wenn das jetzt blöd klingen sollte, aber ich kenne die Parameterschreibweise nur mit einer oder mehreren Gleichungen, und deine Formel hat nur Beistriche. Kannst du mir hier weiterhelfen?

12.09.2017, 21:59

HAL 9000

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"Nur Beistriche" ??? Du bist ja ein seltsamer Kauz. Teufel

Ich habe da einfach nur die Parameterdarstellung $\begin{align*} (x(t),y(t),z(t)) \end{align*}$ im Raum angegeben, mit

$\begin{align*} x(t) &= x_1+t(x_2-x_1)<br /> y(t) &= y_1+t(y_2-y_1)<br /> z(t) &= h(x(t),y(t)) , \end{align*}$

und in letzteres hatte ich dann noch die ersten beiden eingesetzt, also $\begin{align*} z(t)=h(x_1+t(x_2-x_1),y_1+t(y_2-y_1)) \end{align*}$ , mehr ist da nicht passiert.

13.09.2017, 08:12

Mydreams

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Aha, jetzt verstehe ich! Ich war einfach nicht daran gewöhnt sie so komprimiert zu sehen. Meine Erfahrungen beschränken sich auf Bücher und Internetseiten, ich hab wenig praktische Übung.

Wenn ich jetzt also die Weglänge der Kurve zwischen A1 und A2 berechnen will, kann ich einfach $\begin{eqnarray*} s=\int_{A1}^{A2} \! \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2} + (h'(t))^{2}} \, dt \end{eqnarray*}$ schreiben, oder?

13.09.2017, 10:36

Dopap

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zumindest können Punkte nicht Integralgrenzen sein wenn t die Integrationsvariable ist.
Das sollten die Parameterwerte $\begin{eqnarray*} t_1 , t_2 \end{eqnarray*}$ sein, bei denen die Punkte "getroffen" werden.

13.09.2017, 11:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von HAL 9000
diese Kurve kann parametriert werden durch

$\begin{align*} \left(x_1+t(x_2-x_1),y_1+t(y_2-y_1),h(x_1+t(x_2-x_1),y_1+t(y_2-y_1))\right) \end{align*}$ für $\begin{align*} 0\leq t\leq 1 \end{align*}$ ,

13.09.2017, 12:03

Mydreams

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Danke für die Hilfe!

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