Warum ist das eine Basis? (Unitärer Vrm, ONB, lin. Abb.)

12.09.2017, 16:31	Alp20	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist das eine Basis? (Unitärer Vrm, ONB, lin. Abb.) Hallo, ich verzweifle jetzt schon seit Stunden an dieser Aufgabe hier, die vermutlich sogar total einfach ist. Allerdings komme ich einfach nicht auf einen vernünftigen Ansatz: Gegeben sei ein Vektorraum V mit Skalarprodukt, eine Orthonormalbasis B = { $\begin{eqnarray} e_{1},...,e_{n} \end{eqnarray}$ } von V und eine Matrix A = ( $\begin{eqnarray} a_{ij} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ GL(n, C). Wir definieren eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f_{A} \end{eqnarray}$ : V --> V durch $\begin{eqnarray} f_{A}(e_{j}) \end{eqnarray}$ := $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} a_{kj}e_{k} \end{eqnarray}$ , 1 <= j <= n. Behauptung: Dann ist { $\begin{eqnarray} e'_{j}:= f_{A}(e_{j}) \end{eqnarray}$ \| 1 <= j <= n} auch eine Basis von V. Ich habe ua. folgenden Ansatz (erfolglos) versucht: Sei $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^{n}b_{j} e_{j}=0 \end{eqnarray}$ , dann: 0 = $\begin{eqnarray} <f_{A}(\sum_{j=1}^{n}b_{j} e_{j}), e_{j}> \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} <\sum_{j=1}^{n}b_{j}f_{A}(e_{j}), e_{j}> \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^{n}b_{j}<\sum_{k=1}^{n} a_{kj}e_{k}, e_{j} \end{eqnarray}$ > = $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^{n}b_{j}\sum_{k=1}^{n} a_{kj}<e_{k}, e_{j}> \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^{n}b_{j}a_{jj} \end{eqnarray}$ = 0 Aber hier scheitert es dann am letzten Term, warum genau muss hier jedes $\begin{eqnarray} b_{j} \end{eqnarray*}$ 1<=j<=n gleich null sein? Hat es damit zutun, dass die Matrix vollen Rang hat? Andere Versuche sind ähnlich kläglich gescheitert. Bin echt am Verzweifeln, da das ja eigentlich nicht wirklich schwer sein dürfte Edit: Danke fürs Verschieben.
12.09.2017, 18:22	Alp20	Auf diesen Beitrag antworten »
Da der Ansatz vermutlich völliger Quatsch ist (als ich den gemacht habe, habe ich davor aber auch schon echt lange dran rumgerätselt), hier mal ein verbesserter (hoffentlich): Sei $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^{n}b_{j} e'_{j}=0 \end{eqnarray}$ , dann gilt für 1<= l <=n: 0 = $\begin{eqnarray} <\sum_{j=1}^{n}b_{j}f_{A}(e_{j}), e'_{l}> \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^{n}b_{j}\sum_{k=1}^{n}a_{kj}<e_{k}, e'_{l}> \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^{n}b_{j}\sum_{k=1}^{n}a_{kj}<e_{k},\sum_{s=1}^{n}a_{sl}e_{s}> \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^{n}b_{j}\sum_{k=1}^{n}a_{kj}\sum_{s=1}^{n}\overline{a_{sl}}<e_{k},e_{s}> \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^{n}b_{j}\sum_{k=1}^{n} \sum_{s=1}^{n} a_{kj}\overline{a_{sl}}<e_{k},e_{s}> \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^{n}b_{j}\sum_{k=1}^{n} a_{kj}\overline{a_{kl}} \end{eqnarray}$ Das Ergebnis dürfte immerhin richtig sein, also bis zu der Stelle. Allerdings komme ich von da an trotzdem nicht weiter. Weshalb muss in dieser Situation $\begin{eqnarray} b_{j} \end{eqnarray}$ denn immer null sein?
13.09.2017, 10:40	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Behauptung ist ja nur, dass die $\begin{eqnarray} e'_j \end{eqnarray}$ eine Basis bilden. Also brauchst Du nur untersuchen, ob es zu $\begin{eqnarray} x \in V \end{eqnarray}$ eindeutig Koeffizienten $\begin{eqnarray} b_j \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} \sum_{j=1}^n b_je'_j=x \end{eqnarray}$ Wenn Du hier die Definition der $\begin{eqnarray} e'_j \end{eqnarray}$ einsetzt und umformst ..... Gruß pwm
13.09.2017, 23:58	Alp20	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hat es Klick gemacht, danke PWM. Man benutzt nach der Umformung einfach noch, dass die Matrix A bijektiv, also insbesondere surjektiv ist. Und damit ist dann jedes x aus V eindeutig darstellbar. Top, danke.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »