Satz des Vieta mit nur einer Lösung

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12.09.2017, 18:35	Spender	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz des Vieta mit nur einer Lösung Bei einer Gleichung der Form x²+px+q=0 sei folgende Lösungsmenge gegeben L={4} Warum ist dann x1 und x2 = 4? Denn p = -(x1+x2) q = x1*x2 Also x² -8x +16 Warum ist das so? Es dankt der Spender
12.09.2017, 18:40	G120917	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz des Vieta mit nur einer Lösung x² -8x +16 Das ist eine binomische Formel! Wie lautet sie?
12.09.2017, 18:46	Spender	Auf diesen Beitrag antworten »
(x-4)² Wie komme ich aber darauf nur mit L={4}
12.09.2017, 18:57	G120917	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (x-4)^2= 0 <br /> (x-4)(x-4)=0 \end{eqnarray}$ Diese Gleichung hat nur die Lösung 4 (doppelte Nullstelle)
15.09.2017, 09:33	Spender	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist klar. Gilt dann der Satz des Vieta nicht mehr?
15.09.2017, 09:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, der gilt, da eben mit $\begin{align} x_1=x_2=4 \end{align}$ . Ok, etwas weiter ausgeholt: Ein quadratisches Polynom $\begin{align} f(x)=x^2+px+q \end{align}$ hat entweder a) keine reellen Nullstellen, in dem Fall ist $\begin{align} f(x)>0 \end{align}$ für alle reellen $\begin{align} x \end{align}$ und wir haben eine leere Lösungsmenge $\begin{align} L=\{\} \end{align}$ , oder b) es hat reelle Nullstellen. In diesem Fall lässt es sich faktorisieren gemäß $\begin{align} f(x)=(x-x_1)(x-x_2) \end{align}$ mit reellen Zahlen $\begin{align} x_1,x_2 \end{align}$ , und die Lösungsmenge ist $\begin{align} L=\{x_1,x_2\} \end{align}$ . Ist die Lösungsmenge $\begin{align} L=\{4\} \end{align}$ , dann ist sie nicht leer und damit liegt offenkundig nicht Fall a) vor, es kann daher nur b) sein. Wäre dort nun aber $\begin{align} x_1\neq x_2 \end{align}$ , so müsste die Lösungsmenge zwei Elemente haben - hat sie aber nicht, somit muss $\begin{align} x_1=x_2 \end{align}$ sein, genauer $\begin{align} x_1=x_2=4 \end{align}$ .
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15.09.2017, 13:47	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du nur bei Vieta bleiben willst: x1 + x2 = 4 + 4 = 8 x1 * x2 = 4*4 = 16 mY+
15.09.2017, 19:06	Spender	Auf diesen Beitrag antworten »
x1 = x2 Das das so ist ist klar. Aber warum? Die Begründung habe ich verstanden, bis zu dem Punkt der Faktorisierung. 2. VErsuch? Es dankt der Spender
15.09.2017, 19:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein schwieriger, anspruchsvoller Kunde... 1) Wenn du die enge Auffassung hast, dass $\begin{align} x_1 \end{align}$ und $\begin{align} x_2 \end{align}$ die beiden verschiedenen (!) Lösungen der quadratischen Gleichung $\begin{align} x^2+px+q=0 \end{align}$ sind, dann können wir hier aufhören: Denn bei Lösungsmenge $\begin{align} L=\{4\} \end{align}$ existiert dann nur ein $\begin{align} x_1=4 \end{align}$ und kein $\begin{align} x_2 \end{align}$ , also können die Vieta-Gleichungen nicht gelten, Punkt. 2) Wenn du aber als $\begin{align} x_1,x_2 \end{align}$ die beiden Werte ansiehst, in die das Polynom gemäß Linearfaktorzerlegung $\begin{align} x^2+px+q = (x-x_1)(x-x_2) \end{align}$ zerfällt, dann folgt daraus im Fall $\begin{align} L=\{4\} \end{align}$ sofort $\begin{align} x_1=x_2=4 \end{align}$ , das habe ich oben lang und breit ausgewalzt und werde es hier sicher nicht nochmal wiederholen. Nun sag an, welche der beiden Interpretationen von $\begin{align} x_1,x_2 \end{align}$ du vorziehst - oder welche dritte es sonst sein soll.

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