Durchschnitte von algebraischen Mengen

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manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »
Durchschnitte von algebraischen Mengen
Hallo liebe Community,

Ich würde gerne zeigen, dass beliebige Durchschnitte und endliche Vereinigungen von algebraischen Mengen wieder algebraische Mengen sind.

Da das so trivial ist fällt es mir schwer das zu zeigen, mein Versuch:

angenommen es gibt zwei Polynome a und b in R[x] wobei R ein kommutativer Ring ist und Na und Nb die Nullstellenmengen davon sind.

Für das Produkt der Polynome ab gilt folgendes: Setzt man ein beliebiges Element m von R in ab ein, so ist ab(m) genau dann 0, wenn entweder a(m) oder b(m) oder a(m) und b(m) 0 sind. Daher ist die Nullstellenmenge von ab gleich der Vereinigungsmenge von Na und Nb.

Angenommen man geht jetzt von einer polynomialen Gleichung a(m)=0 auf das System a(m)=0 und b(m)=0 über. So ist die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems gerade der Durchschnitt von Na und Nb, da a(m) und b(m) =0 sein müssen.

Somit hätte ich die Behauptung "gezeigt", jedoch bin ich damit noch nicht glücklich. Hat jemand eine bessere Idee, oder kann mir sagen was ich verbessern muss?

Danke und LG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du irgendwo die Nullteilerfreiheit des Ringes R vorausgesetzt ? Wenn nicht, funktioniert dein Beweis für die (endliche) Vereinigung nicht. Selbst wenn du gezeigt hast, dass endliche Durchschnitte algebraisch sind, warum gilt das für beliebige Durchschnitte ?
Du darfst nicht alles für trivial halten, was du nicht beweisen kannst. Du musst die Voraussetzungen klären. Es wäre nett, wenn du die Definition von algebraisch kurz angeben würdest. Deine Beweise haben noch viel Potential, formaler und überzeugender zu werden.
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Elvis,

habe mir die ganze Zeit das Selbe gedacht. Es wird aber lediglich von einem kommutativen Ring gesprochen. Da ich nicht wusste was mit "endliche Vereinigungen" gemeint war, dachte ich, dass dieses Problem mit dem "endlich' so umgangen wird, dass endliche Vereinigungen solche sind, wo gerade a*b=0 genau dann 0 ist wenn a oder b 0 ist, sonst wäre die Lösungsmenge ja unendlich (einsetzen in das Nullpolynom ab ergäbe dann immer 0, egal was man einsetzt).

Definition algebraisch:

"Eine Teilmenge N von R^n (n natürliche Zahl und R komm. Ring) ist eine algebraische Menge wenn sie die Nullstellenmenge einer Teilmenge von R[x1,x2,...,xn] ist.
Definition algebraisch:

Ein Element a einer K-Algebra heißt algebraisch, wenn es Nullstelle eines Polynoms mit Koeffiizienten in K ist.

Ein System polynomialer Gleichungen ist eine Aufgabe: Gegeben sind Polynome in R[x1,x2,...,xn]. Gesucht sind alle Elemente a in R^n, sodass für alle gegebenen Polynome fi mit 1<=i<=k (k positive ganze Zahl) fi(a)=0 ist.

In Meinem Skript steht zum Beweis der Behauptung nur "Übung" und mehr als das von mir geschriebene wurde während der Vorlesung auch nicht besprochen.

Liebe Grüße
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Gerade bei Ringen gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, was man darunter verstehen möchte. Da muss man gut auf die jeweiligen Definitionen achten und sorgfältig arbeiten. Mal eben so nebenbei geht da gar nichts. (Ich habe auch immer mit Ringen gekämpft - meistens vergebens Augenzwinkern ). Insbesondere die algebraische Geometrie ist tückisch, hinterhältig und fies ! Teufel
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe im Netz einen Beweis gefunden, dort ist R aber ein Körper und es wird von affinen algebraischen Mengen, dem Begriff noethersch und einer Topologie gesprochen, all dies wurde in unserer Vorlesung nicht behandelt.

Hilft mir denn die Betrachtung von Idealen weiter?

Überhaupt, muss nicht R ein Integritätsbereich sein, damit die Behauptung an sich überhaupt stimmt? Wenn das angenommen wird so kann man folgendes führen:


Die endliche Vereinigung algebraischer Mengen ist wieder algebraisch:

Sei X die Nullstellenmenge von f1,...,fr in K[x1,...,xn]
Sei Y die Nullstellenmenge von g1,...,gs in K[x1,...,xn]

Sei a:={fi*gj|1<=i<=n,1<=j<=s}

Behauptung N(a)=X vereinigt mit Y

Zeigen, dass X vereinigt mit Y eine Teilmenge von N(a) ist:

Sei m Element von X vereinigt mit Y. o.e.d.A: m Element von X
Dann gilt fi(m)=0 für 1<=i<=n.
und f1*...*fr*g1...*gs (m)= f1(m)*.......*gs(m)=0 da f1(m)=0.

Zeigen, dass N(a) eine Teilmenge von X vereinigt mit Y ist:

Sei m Element von N(a).
Nach Definition ist f1(m)*...*fn(m)*g1(m)*...*gs(m)=0
Annahme: m ist kein Element von X
Dann gibt es einen Index i sodass fi(m) ungleich 0 ist.
Da aber fi(m)*g1(m)...*gs(m)=0 ist und R ein Integritätsbereich ist, muss g1(m)*...gs(m)=0 sein, also m Element von Y.


Durschnitte beliebiger algebraischer Mengen sind wieder algebraisch:

Sei N=Durschnitt aller Ni mit i in I
Sei X=Vereinigung aller Xi mit i in I

Behauptung N=Nullstellenmenge N(X)

Ein Element p in R^n liegt genau dann in N, wenn p Element von Ni für alle i ist. Dies ist genau dann der Fall wenn f(p)=0 für alle f in Xi ist und alle i. Also für alle f in X.

qeD.


So besser? gibt's noch Lücken bei diesem Beweis?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das passt in etwa zu dem was ich sage. Es ist extrem wichtig, Sätze sorgfältig zu formulieren, dazu gehören alle Definitionen, Voraussetzungen und Aussagen. Wischiwaschi ist keine gute Mathematik.
 
 
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