Fourierkoeffizienten bestimmen

13.09.2017, 13:27

keschnei

Fourierkoeffizienten bestimmen

Meine Frage:
Hallo, ich brauche mal einen Denkanstoß :

meine Aufgabe :

Geben sie die Fourrierentwicklung von -Pi bis Pi für folgende Funktion an :
$\begin{eqnarray*} f(x)= cos (\frac{x}{2} )+1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Da es sich im eine gerade Funktion handelt, fallen ja alle Sinuskomponten der Fourrierreihe von Anfang an weg.

Daraus folgt :
$\begin{eqnarray*} f(x)= a_0 = \frac{4}{\pi} \end{eqnarray*}$

Übrig bleibt also
$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\Pi} \int_{-\Pi}^{\Pi} \! cos(\frac{x}{2}+1) * cos(nx) \, dx <br /> =<br /> \frac{1}{\Pi} \int_{-\Pi}^{\Pi} \! cos(\frac{x}{2}) * cos(nx)+ cos(nx) \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt geht es mir darum, wie ich den Term vor dem "+" effizient integrieren kann.

Wenn ich das partiell integriere, drehe ich mich im Kreis.

13.09.2017, 13:36

HAL 9000

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Wie üblich in solchen Fällen verwendet man vor der Integration das Additionstheorem $\begin{align*} \cos(u)\cos(v) = \frac{1}{2} \left( \cos(u+v) + \cos(u-v) \right) \end{align*}$ .

Zitat:

Original von keschnei
$\begin{eqnarray*} f(x)= a_0 = \frac{4}{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{align*} f(x)=a_0 \end{align*}$ ist Unsinn. Und $\begin{align*} a_0=\frac{4}{\pi} \end{align*}$ ist auch falsch, es ist $\begin{align*} a_0=\frac{4}{\pi}+2 \end{align*}$ .

13.09.2017, 15:05

keschnei

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Zitat:

Original von keschnei
$\begin{eqnarray*} f(x)= a_0 = \frac{4}{\pi} \end{eqnarray*}$
$\begin{align*} f(x)=a_0 \end{align*}$ ist Unsinn. Und $\begin{align*} a_0=\frac{4}{\pi} \end{align*}$ ist auch falsch, es ist $\begin{align*} a_0=\frac{4}{\pi}+2 \end{align*}$ .

Habe ich auch so , nur vergessen, mit aufzuschreiben, sorry.

übrig beibt also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! cos(\frac{x}{2}+nx) \, dx +\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! cos(\frac{x}{2}-nx) \, dx \end{eqnarray*}$

ist das richtig ?

Aber wird das nicht immer 0 für ganzzahlige n?

13.09.2017, 15:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von keschnei
übrig beibt also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! cos(\frac{x}{2}+nx) \, dx +\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! cos(\frac{x}{2}-nx) \, dx \end{eqnarray*}$

ist das richtig ?

Fast, es fehlt noch der generelle Faktor 1/2 vor dem Gesamtterm.

Zitat:

Original von keschnei
Aber wird das nicht immer 0 für ganzzahlige n?

Für kein einziges ganzzahliges n wird das 0. Vielleicht doch besser rechnen statt raten.

Zitat:

Original von keschnei
Habe ich auch so, nur vergessen, mit aufzuschreiben

Solche Ausflüchte lässt man am besten ganz sein, die wirken nur altklug.

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