Länge eines Bandes, um einen Zylinder gewickelt, berechnen

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Snapuman Auf diesen Beitrag antworten »
Länge eines Bandes, um einen Zylinder gewickelt, berechnen
Meine Frage:
Hallo liebes Mathe Forum,

ich sitze schon eine Weile an folgender Aufgabenstellung:
Gegeben ist ein Zylinder mit Länge (z.B. 9cm) und Durchmesser (z.B. 2cm) sowie
ein flaches Band (also ein langes Rechteck) mit einer Breite (z.B. 2,5cm)

Gesucht ist die Länge des Bandes, um die Aussenmantelfläche des Zylinders beim umwickeln vollständig abzudecken, bei einer gegeben Überlappung (der Einfachheit halber erstmal keine, also 0 cm).

-> eine praktische Anwendung wäre z.B. die Umwicklung eines Tennisschlägers mit Griffband.

Entweder ist es das komplizierter als es aussieht, oder ich steh hier total auf'm Schlauch (Schule ist aber auch bald 20 Jahre her...). Wenn möglich, suche ich eine einfache Lösung die ohne höhere Mathematik auskommt. Das muss doch gehen... smile

Meine Ideen:
Ich habe das ganze mal Beispielhaft konstruktiv gelöst, indem ich ein Band um einen Zylinder gewickelt auf ein Blatt abgerollt habe.

Zylinder
Band mit "Überhang"
rechtw. Dreieck, Fläche Band 1. Umwicklung
Flächen Zylinder pro Umdrehung
Raute, Band komplett umwickelt

[attach]45264[/attach]

Ich habe also ein rechtw. Dreieck wo ich mit Pythagoras arbeiten kann, allerdings kenne ich nur a.
Das Band (ohne den Überhang am Anfang und Ende) ergibt eine Raute, da kenne ich aber auch nur a.
ha ergibt zusammen mit der bekannten Breite des Bandes wieder ein rechtw. Dreieck, das bringt mich aber irgendwie auch nicht weiter...


Konstruktiv ergibt die Bandlänge für das Beispiel bei mir etwa 27.1cm (+/- ein paar mm, war nicht so genau, sollte eigentlich nur eine Gedankenskize für mich sein ^^)


Also für Anregungen und Lösungsvorschläge, die Länge des Bandes exakt zu berechnen
(ich wills jetzt einfach wissen! Big Laugh ) wäre ich sehr dankbar! smile




Bonus: Beim suchen im Web bin ich auf folgenden Rechner gestoßen, der mir im Prinzip das ausrechnet was ich will: https://www.turbozentrum.de/hitzeschutzband-rechner/, die Werte hauen aber nur annäherungsweise hin.

Nun wollte ich's wissen wie das dort gerechnet wird und hab mir die Berechnung aus dem javascript sozusagen "reverse engineered". Allerdings wird da für meine Begriffe höchst umständlich und kompliziert gerechnet...

Die Original Berechnung der Seite lautet:
code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
function calc(data){
 var c1B2=((data.pip_od)/(25.4));
 var c1B3=((data.pip_len)*(0.03048));
 var c1B4=((data.wrap_wid)/(25.4));
 var c1B5=((data.wrap_lap)/(25.4));
 
 var c1B19=(((((c1B3)*(12)))/((c1B4)-(c1B5))));
 var c1B20=((((c1B2)*((2.14100065)+(1.000592)))/(12)));
 var c1B9=((((c1B19)*(c1B20))+(c1B5)));
 var c1B10=((c1B9/3.048).toFixed(2));
 data.wrap_answer=c1B10;
};
etwas vereinfacht und übersetzt geschrieben
code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
c1B2 = RohrDurchmesser in mm / 25,4
c1B3 = RohrLänge in cm * 0,03048
c1B4 = BandBreite in mm / 25,4
c1B5 = Überlappung in mm / 25,4

c1B19 = (RohrLänge * 12) / (BandBreite - BandÜberlapp)
c1B20 = (RohrDurchmesser * (2.14100065 + 1.000592)) / 12
clB9 = c1B19 * c1B20 + BandÜberlapp
BandLänge = c1B9 / 3.048


noch einfacher:
__________________________________________________
c1B19 = RohrLänge / (BandBreite - BandÜberlapp)
RohrUmfang = RohrDurchmesser * Pi
clB9 = (c1B19 * RohrUmfang) + BandÜberlapp
BandLänge = c1B9 / 3.048
Also erst komisch die Maße umrechnen
(wenn die 25,4 inch darstellen sollen, dann müsste ja eigentlich multipliziert werden,
aus der 0,03048 bzw. 3,048 zum Schluss werde ich überhaupt nicht schlau), dann



und das Ergebnis durch 3,048 rechnen (siehe am Anfang RohrLänge in cm * 0,03048)...


Was im Endeffekt folgende Formel ergibt:



Ergibt für das Beispiel oben Eine BandLänge von 22,6cm (vs. konstruktiv gemessen 27,1cm). Ich hab auch schon mit dieser Berechnung gespielt und die Umrechnungen teilweise (nur die mm) und ganz durch SI Einheiten ersetzt. Bei 0 Überlappung macht das keinen Unterschied, mit Überlappung ist das Ergebnis dann etwas kleiner, stimmt aber näherungsweise immer noch.

Ich habe das auch schon in der Praxis mit 50cm RohrLänge ohne und mit 50% Überlappung nachgemessen, da liegen die Ergebnisse dann ohne Überlappung alle ca. 4cm unter den gemessenen 129cm BandLänge bzw bei 12,5mm Überlappung bei der Original Formel ca. 11cm über und mit SI Einheiten gerechnet wieder ca. 4cm unter den gemessenen 256cm BandLänge (also schon mal deutlich näher dran!).

Wie gesagt, haut alles grob näherungsweise hin, aber .. WHAT THE FUCK?? waren meine Gedanken als ich die Berechnung herauskristallisierte... WAS wird da gerechnet und wer denkt sich sowas aus?! Ergibt das für irgendjemanden der bis hier gelesen hat ^^ in irgend einer Form irgendwie einen Sinn?

Bin gespannt ob Mathefreaks damit was anfangen können, ein befreundeter Programmierer konnte mir (und sich) das nicht erklären... ^^
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch in deiner Skizze alle nötige da - was fehlt sind mal klar spezifizierte Symbolbezeichnungen, die werden alle so zwischen Tür und Angel eingeführt...

Also: Sind

... Durchmesser Zylinder
... Höhe Zylinder
... Breite Band
... gesuchte Länge des Bandes,

dann ist . Der erste Summand resultiert aus der Mantelfläche des Zylinders, der zweite aus der Summe der beiden "überlappenden" Dreiecke, welche zusammengenommen ein Rechteck mit einer Seite und Diagonalenlänge bilden.

Durch das Programm werde ich mich sicher nicht wühlen, ich fand nur das geometrische Problem interessant.
Snapuman Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ja Danke schon mal, das sieht ziemlich gut aus, auch von den Werten die dabei rauskommen. smile

Verstehen tu ich's aber noch nicht so ganz. Also der zweite Summand is Pythagoras, das ist klar.
Aber woher kommt der erste Teil? Also wo würde ich diese Formel z.B in einem Tabellenbuch finden?
Ach Mann, ich riech den Schlauch schon auf dem steh, ich seh ihn nur nicht... verwirrt



Das ist ja, mal von der Überlappung und den Maßeinheiten abgesehen, exakt das gleiche was das javascript berechnet. ZylinderMantelfläche / BandBreite.
(den ganzen Code hab ich nur dazu geschrieben, falls da jemand Spaß dran hat oder des wirklich versteht - vielleicht war's aber auch zuviel des guten und wirkt abschreckend ^^)


Ich hab die Formel jetzt mal noch um die Überlappung erweitert, an sich ja nicht mehr all zu schwer. Oder gibt's da aus theoretischer Sicht irgendwelche Einwände?
Von den Werten Kommt es jedenfalls recht nah an meine praktisch ermittelten Werte heran (zumindest bei 50% Überlappung - ist nicht einfach das so exakt zu wickeln Big Laugh )
- obwohl ich bei 50% eigentlich genau die doppelte Länge erwartet hätte (da die Oberfläche ja doppelt umwickelt wird), kommt aber rechnerisch etwas weniger raus...

d ... Durchmesser Zylinder
h ... Höhe Zylinder
b ... Breite Band
u ... Breite Überlappung (muss <b sein)
L ... gesuchte Länge des Bandes



Also mit den Beispielwerten ohne Überlappung



und mit 50% Überlappung (1,25cm)

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Snapuman
Verstehen tu ich's aber noch nicht so ganz. Also der zweite Summand is Pythagoras, das ist klar.
Aber woher kommt der erste Teil?

Nochmal im Detail:

ist die Gesamtfläche des Bandes.

ist die Mantelfläche des Zylinders.

ist die überstehende Fläche, das ist ein Rechteck mit den Seiten b und .

Und gemäß "Bandfläche = Mantelfläche + überstehende Fläche" kommt man auf die Gleichung oben - das war's.
Snapuman Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok jetzt versteh ich wo du das herleitest... ja ich sag doch Schlauch. Super Big Laugh


Allerdings komme ich auf die Umstellung der Gleichung irgendwie noch nicht so ganz klar.

Wenn die Herleitung "Bandfläche = Mantelfläche + überstehende Fläche" ist (was ja mal wirklich logisch ist smile ) dann müsste es doch aber eigentlich übersetzt in eine Gleichung

| :b



ergeben...

Wieso kommt das /b nur unter den ersten Teil (sehr wahrscheinlich wohl, weil du erst Bandfläche = Mantelfläche nach L umstellst und dann erst die überstehende Fläche addierst - aber ... darf man.. geht das überhaupt ... also verstehst wie ich mein? ohne die überstehende Fläche ist die Herleitung und damit die Gleichung ja ned mehr gegeben...verwirrt )


Man könnte ja auch sagen: Mantelfläche = Bandfläche - überstehende Fläche



Was umgestellt nach L doch auch wieder



ergeben müsste... Hilfe
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du fragst jetzt allen Ernstes, wieso identisch ist mit ? geschockt

Dann brauchst du wohl ein paar Nachhilfestunden in punkto grundlegende Termumformungen (Distributivgesetz u.ä.). unglücklich
 
 
Snapuman Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm ja.... also zum eine hab ich gestern Abend den Unterschied beim b vor der Wurzel nicht mehr wahrgenommen, zum anderen hast du trotzdem recht.
Wie gesagt, das ist über 15 Jahre bei mir her, Augenzwinkern und diese Thema hat mich vor ein paar Tagen veranlasst, aus Interesse mich mal wieder intensiv damit zu befassen.
Dieser Thread ist also gerade Teil meiner Nachhilfestunden... als herzlichen Dank für deine Erklärung und Zeit. smile
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