Punktweise und Gleichmäßige Konvergenz |
13.09.2017, 21:16 | LauraundLisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Punktweise und Gleichmäßige Konvergenz Hi ich soll die Funktionsfolge nach Punktweise Konvergenz Prüfen und nach Gleichmäßige Konvergenz im INtervall I=R und I=[1,unendlich) Meine Ideen: Die Punktweise Konvergenz habe ich ganz einfach hinbekommen. DIe FUnktionsfolge Konvergiert gegen die Grenzfunktion f(x)= e falls x ungleich 0 e^2017 falls x =0 ist kann ich nun wegen der Gleichmäßigen Konvergenz so argumentieren : Die Funktion Konvergiert nicht Gleichmäßig, da die Grenzfunktion an der stelle x=0 nicht Stetig ist ? Weil wenn di Grenzfunktion Stetig wäre dann könnten wir ja daraus folgern das die FUnktionsfolge Stetig ist oder ? |
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13.09.2017, 21:31 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Punktweise und Gleichmäßige Konvergenz
Zumindest bei der gleichmäßigen Konvergenz auf kannst du das so machen: Die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen ist stetig. Bei musst du dir etwas anderes überlegen, denn die Unstetigkeitsstelle der Grenzfunktion liegt ja gar nicht in diesem Intervall.
Nein, die Umkehrung gilt nicht. (Eine Folge unstetiger Funktionen kann gleichmäßig gegen eine stetige Funktion konvergieren.) |
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13.09.2017, 21:42 | Lauraundlisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Punktweise und Gleichmäßige Konvergenz Hallo, Gilt aber die Umkehrung des Satzes : Eine Funktionsfolge die Gleichmäßig Konvergiert und deren Glieder alle Stetig sind dessen Grenzfunktion ist ebenfalls Stetig ? Kann man also sagen wenn die Grenzfunktion nicht Stetig ist so ist die Funktionsfolge nicht Gleichmäßig Konvergent ? |
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13.09.2017, 21:53 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Punktweise und Gleichmäßige Konvergenz Die Umkehrung von
gilt nicht, wie oben gesagt. Allerdings ist die Aussage
nicht die Umkehrung davon, sondern exakt das selbe (wenn man noch ergänzt, dass alle Folgenglieder stetig sind). |
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13.09.2017, 22:24 | Lauraundlisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Punktweise und Gleichmäßige Konvergenz Für das Intervall I=[1,unendlich) habe ich so lange umgeformt und abgeschätzt bis ich auf der Grenzwert davon ist 0 für n gegen unendlich. Aber was habe ich nun damit gezeigt ? Ich habe gezeigt der Grenzwert existiert und nun |
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13.09.2017, 22:45 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du dir nochmal sauber aufschreibst, was du da abgeschätzt hast (und nicht nur einen zusammenhanglosen Term), dann solltest du sehen, was du da gezeigt hast. Für alle gilt Was sagt dir das, wenn du dir die Definition von gleichmäßiger Konvergenz anschaust? |
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13.09.2017, 23:08 | Lauraundlisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso da der rechte Term gegen 0 geht finden wir immer ein epsilon größer null Oder |
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13.09.2017, 23:16 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ein wofür? |
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14.09.2017, 00:36 | Lauraundlisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh ist das falsch ? Mhh dann weiss ich auch nicht |
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14.09.2017, 01:39 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann schon sein, dass in deiner Definition irgendwo ein auftaucht. Du musst dann aber auch sagen, wo und was du damit machen willst. Einfach nur "Wir finden ein " reicht nicht. |
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14.09.2017, 12:54 | Lauraundlisa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wir finden ein sodass kleiner ist als epsilon. |
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14.09.2017, 17:51 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nicht ganz, da fehlt immer noch was: Laut Definition muss man für alle ein finden, sodass für alle und für alle gilt: . Die linke Seite dieser Ungleichung ist höchstens ; und weil das gegen 0 konvergiert, findet man eben für jedes ein passendes mit dieser Eigenschaft. (Etwas kürzer kann man die Definition von gleichmäßiger Konvergenz auch so schreiben: Die Folge konvergiert gleichmäßig gegen , falls . Und dass das gilt, hattest du ja oben schin gesagt.) |
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