Nichtlineare Gleichungssysteme (Iterationen)

14.09.2017, 13:02

On1c92

Nichtlineare Gleichungssysteme (Iterationen)

Meine Frage:
Hallo,
ich brauche Hilfe bei der Berechnung von 2 Iterationen. Gegeben ist ein nichtlineares Gleichungssystem F(x), sowie der Startwert x(0):

$\begin{eqnarray*} F(x)=\begin{pmatrix} 2x_1 + 4x_2 \\ 8x_2^3+4x_1 \end{pmatrix} x^{(0)} =\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Es soll das Newtonverfahren angewendet werden:

$\begin{eqnarray*} x^{(i+1)}=x^{(i)}-J(x^{(i)})^{-1}*F(x^{(i)}) \end{eqnarray*}$

Ich besitze eine Musterlösung von der Aufgabe, doch beim nachrechnen bekomme ich immer ein anderes Ergebnis raus, sprich ich habe nicht verstanden wie ich in die Iterationsvorschrift einsetzen/auflösen muss.

Wäre super wenn mir jemand erklären könnte wie ich auf die richtigen x-Werte kommen kann.

Liebe Grüße Patrick

Meine Ideen:
Meine selbst errechneten Ergebnisse:
$\begin{eqnarray*} x^{(1)}= \begin{pmatrix} \frac{4}{3} \\ \frac{6}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Musterlösung:
$\begin{eqnarray*} x^{(1)}=\begin{pmatrix} -2,9091 \\ 1,4545 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.09.2017, 13:28

HAL 9000

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$\begin{align*} F(x) \end{align*}$ ist keine Gleichungssystem - meinst du womöglich die Nullstellengleichung $\begin{align*} F(x) = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \end{align*}$ ? verwirrt

14.09.2017, 13:30

On1c92

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Ja F(x)=0 richtig

14.09.2017, 13:46

HAL 9000

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Den Wert $\begin{align*} x^{(1)} = \begin{pmatrix} -\frac{32}{11}\\ \frac{16}{11} \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -2.9091\\ 1.4545 \end{pmatrix} \end{align*}$ kann ich bestätigen, also wird der Fehler wohl irgendwo in deiner Rechnung sein. Zeig doch mal die Zwischenresultate, also etwa $\begin{align*} F(x^{(0)}) \end{align*}$ , $\begin{align*} J(x^{(0)}) \end{align*}$ bzw. dessen Inverse $\begin{align*} J(x^{(0)})^{-1} \end{align*}$ .

14.09.2017, 14:11

On1c92

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Für $\begin{eqnarray*} J(x^{(i)})=\begin{pmatrix} 2 & 4 & \\ 4 & 24(x_2^{(i)})^2 & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also sieht das ungefähr so aus:

$\begin{eqnarray*} x_1^{(i+1)}=\begin{pmatrix} x_1^{i}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 + 4 \end{pmatrix}^{(-1)}*\begin{pmatrix} 2x_1^{(i)} + 4x_2^{(i)} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die Werte einfach eingesetzt aber so scheint es ja nicht zu funktionieren verwirrt

. Da liegt genau mein Problem. Ich weiß nicht wie ich es ab da ausrechnen soll.

14.09.2017, 15:32

On1c92

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Mit welchem Verfahren hast du die Gleichungen gelöst?

14.09.2017, 15:37

HAL 9000

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Was soll denn bitte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 + 4 \end{pmatrix}^{(-1)} \end{eqnarray*}$ bedeuten??? Dort muss eine 2x2-Matrix stehen!!!

Konkret ist da $\begin{align*} J(x^{(0)}) = J\left( \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix} \right) =\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 96 \end{pmatrix} \end{align*}$ zu invertieren.

14.09.2017, 15:46

On1c92

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Ja richtig das ist meine $\begin{eqnarray*} J(x^{(0)}) \end{eqnarray*}$ auch.

Wie löst man das danach weiter auf, also was ist der nächste Schritt?

ich habe dieses Gleichungssystem hier stehen:

$\begin{eqnarray*} 2x_1 + 4x_2 = 16 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4x_1 + 8(x_2)^{3} =80 \end{eqnarray*}$

Ist das soweit korrekt?

14.09.2017, 15:49

HAL 9000

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Nach drei Zwischenresultaten hatte ich gefragt, kein einziges hast du mir genannt (nur einen falschen Symbolhaufen anstelle von J). Es sind also immer noch zwei offen:

Zitat:

Original von HAL 9000
Zeig doch mal die Zwischenresultate, also etwa $\begin{align*} F(x^{(0)}) \end{align*}$ , $\begin{align*} J(x^{(0)}) \end{align*}$ bzw. dessen Inverse $\begin{align*} J(x^{(0)})^{-1} \end{align*}$ .

EDIT: Ok, ich sehe, du hast noch ein Gleichungssystem ergänzt... Dieses Gleichungssystem ist vor allem symbolmäßig gröbstes Chaos: Was wir tatsächlich als Zwischenresultat benötigen ist der Vektor

$\begin{align*} \begin{pmatrix}u_1\\ u_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 96 \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix}16\\ 80\end{pmatrix}\qquad (*) \end{align*}$ .

Dass du die Inverse nicht ausrechnen willst, ist verständlich - gleichbedeutend zu (*) wäre das LGLS

$\begin{align*} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 96 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}u_1\\ u_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16\\ 80\end{pmatrix} \end{align*}$ .

Die andere Symbolik $\begin{align*} u_1,u_2 \end{align*}$ ist wohlweislich gewählt, um die bei dir nur allzu deutlich zu Tage tretende Konfusion mit den Komponenten $\begin{align*} x_1,x_2 \end{align*}$ des Ausgangsvektors zu vermeiden!!!

14.09.2017, 16:02

On1c92

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Das sind die gefragten Werte

$\begin{eqnarray*} F(x^{(0)})=\begin{pmatrix} 16 \\ 80 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} J(x^{(0)})= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 96 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} J(x^{(0)})^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{6}{11} & -\frac{1}{44} \\ -\frac{1}{44} & \frac{1}{88} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.09.2017, 16:06

HAL 9000

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Ok, du hast dich entschieden nun doch die Inverse auszurechnen, gut. Bleibt nur noch einsetzen in

Zitat:

Original von On1c92
$\begin{eqnarray*} x^{(i+1)}=x^{(i)}-J(x^{(i)})^{-1}*F(x^{(i)}) \end{eqnarray*}$

sprich $\begin{align*} x^{(1)}=x^{(0)}-J(x^{(0)})^{-1}\cdot F(x^{(0)}) \end{align*}$ und damit

$\begin{align*} x^{(1)} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{6}{11} & -\frac{1}{44} \\ -\frac{1}{44} & \frac{1}{88} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 16 \\ 80 \end{pmatrix} \end{align*}$ ,

und das dann ausrechnen.

14.09.2017, 16:57

On1c92

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Sehr gut, das hat funktioniert. Danke!

Nun habe ich nach dem selben Prinzip die 2.Iteration ausgerechnet.

$\begin{eqnarray*} x^{(1)}=\begin{pmatrix} -\frac{32}{11} \\ \frac{16}{11} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x^{(1)})= \begin{pmatrix} 0 \\ 12,98 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} J(x^{(1)})= \begin{pmatrix} 2 & 4 & \\ 4 & 4043,53 & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} J(x^{(1)})^{-1}= \begin{pmatrix} 0,501 & -\frac{200}{403553} & \\-\frac{200}{403553} & \frac{100}{403553} & \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die 2. Iteration ergibt dann bei mir:

$\begin{eqnarray*} x^{(2)}=\begin{pmatrix} -2,9026 \\ 1,4513 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Musterlösung lautet aber:

$\begin{eqnarray*} x^{(2)}=\begin{pmatrix} -2,3021 \\ 1,1510 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Erkennst du irgendwo meinen Fehler?

14.09.2017, 17:06

HAL 9000

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Wie kommst du denn auf 4043.53 rechts unten in der J-Matrix? Da muss

$\begin{align*} 24x_2^2 = 24\cdot \left( \frac{16}{11}\right)^2 \approx 50.78 \end{align*}$

stehen! Anscheinend hast du Komponente $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ dem falschen Vektor entnommen. unglücklich

14.09.2017, 17:34

On1c92

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Ich weiß selber nicht mehr wie ich auf diese Zahl gekommen bin unglücklich

Du hast natürlich Recht mit deinem Wert. Damit stimmt mein Endergebnis auch wieder.
Vielen Danke für deine Hilfe! Freude

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