Integral berechnen

15.09.2017, 20:10

LauraundLisa

Integral berechnen

Meine Frage:
Hallo habe ich alles Mathematisch richtig hingeschrieben in dieser Aufgabe ? Bitte schaut sehr Kritisch hin in der klausur muss alles sehr sauber und richtig hingeschrieben werden.

Aufgabe : $\begin{eqnarray*} \int_{\sqrt{3} }^{\sqrt{8} } \! x\sqrt{x^2+1} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Lösung :

$\begin{eqnarray*} \int_{\sqrt{3} }^{\sqrt{8} } \! x\sqrt{x^2+1} \, dx \end{eqnarray*}$

Sei u= $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$
dann ist du = 2x dx daraus folgt
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x} du=dx \end{eqnarray*}$ .

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{\sqrt{3} }^{\sqrt{8} } \! \sqrt{u} \, du \end{eqnarray*}$

= 1/2 * $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left[\frac{u^{\frac{3}{2} }}{3 } \right]_{\sqrt{3} }^{\sqrt{8} } \end{eqnarray*}$

rücks :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left[\frac{(x^2+1)^{\frac{3}{2} }}{3 } \right]_{\sqrt{3} }^{\sqrt{8} } \end{eqnarray*}$

einsetzen ergibnt 19/3

15.09.2017, 20:41

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von LauraundLisa
= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{\sqrt{3} }^{\sqrt{8} } \! \sqrt{u} \, du \end{eqnarray*}$

Nein: Die Grenzen werden ebenfalls der Substitutionstransformation $\begin{align*} u=x^2+1 \end{align*}$ unterzogen, richtig wäre also

$\begin{align*} \frac{1}{2} \int\limits_4^9 \sqrt{u} ~ \dd u \end{align*}$ .

Und das kannst du direkt ausrechnen, eine Rücksubstitution zu $\begin{align*} x \end{align*}$ ist bei einem solchen bestimmten Integral unnötig.

15.09.2017, 20:49

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

und nach der Integration fallen die beiden Faktoren 1/2 heraus.

15.09.2017, 21:03

Lauraundlisa

Auf diesen Beitrag antworten »

ok das merke ich mir danke.
Das Ergebnis ist aber trotzdem richtig oder ?

15.09.2017, 21:07

outSchool

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das Ergebis 19/3 ist richtig.

16.09.2017, 07:24

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral berechnen alles Mathematisch richtig hingeschrieben ? Bitte sehr Kritisch Hinschauen..

Zitat:

Original von LauraundLisa
Meine Frage:

Aufgabe : $\begin{eqnarray*} \int_{\sqrt{3} }^{\sqrt{8} } \! x\sqrt{x^2+1} \, dx \end{eqnarray*}$

"sauber" geschrieben steht da $\begin{eqnarray*} \int_{x=\sqrt{3} }^{x=\sqrt{8} } \, x\sqrt{x^2+1} \, \dd x \end{eqnarray*}$

nicht vergessen!

16.09.2017, 17:57

Lauraundlisa

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integral berechnen alles Mathematisch richtig hingeschrieben ? Bitte sehr Kritisch Hinschauen..
Ich dachte das muss man nur machen wenn man sich im mehrdimensionalen befindet.

16.09.2017, 18:38

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin auch der Meinung, dass $\begin{eqnarray*} \int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}} \end{eqnarray*}$ ausreichend ist.

Und selbst im Mehrdimensionalen (z.B. bei $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^\pi x\cdot \sin(y)\, dy\, dx \end{eqnarray*}$ ) ist das eigentlich ausreichend. Man berechnet die Integrale von innen nach außen; also gehören die Grenzen 0 und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ zur Integrationsvariablen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

16.09.2017, 18:52

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

klar, es gibt die implizite Annahme dass die Grenzen sich auf die Integrationsvariable beziehen. Kleine Substitution und schwupps hat man es vergessen! Siehe oben.

Auch im mehrdimensionalen gibt es eine solche implizite Annahme dadurch dass man von Innen nach Außen vorgeht.
Ist aber nix für Anfänger.

Neue Frage »

Antworten »

Integral berechnen

Verwandte Themen