Gleichungssystem lösen

16.09.2017, 23:59

Corinna23

Gleichungssystem lösen

Meine Frage:
Hallo ich muss das GS Lösen.

3x^2+6xy=0
3x^2+6y-6=0

Meine Ideen:
Meine Problem ist wie soll ich wissen was ich hier anwenden soll ? Es gibt soviel. Ich könnte zB Add.verfahren anwenden

dann hätte ich :

6xy-6y+6=0
y(6x-6)=-6

wann ist 6x-6=-6
genau dann wenn x=0 ist
Also muss dann y natürlich 1 sein.
Das wars dann ?

17.09.2017, 01:11

Helferlein

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Nö, denn das ist nur eine der möglichen Lösungen.
Dein Fehler liegt in der Schlußfolgerung, dass 6x-6=-6 gelten muss. Wenn es gilt, ist die Lösung, die Du gefunden hast die einzige. Aber was, wenn es nicht gilt?

17.09.2017, 09:59

corinna23

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hm also was soll ich jetzt machen? verwirrt

17.09.2017, 10:11

ML_

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RE: Gleichungssystem lösen
Hallo,

Zitat:

6xy-6y+6=0

Rechne doch mal so weiter:
$\begin{eqnarray*} 6y (x-1) + 6 = 0 \end{eqnarray*}$
und löse nach y auf.

Viele Grüße
Michael

PS: Wenn Du das hast, musst Du aber schauen, dass beide Ausgangsgleichungen erfüllt werden. M. E. kommen folgende Lösungen für (x/y) raus: (0/1), (-1/0.5), (2/-1).

17.09.2017, 12:52

mYthos

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Irgendwie ist da schon zu Anfang ein Tohuwabohu drin bzw. eine Verwirrung zu sehen.
Ich möchte einmal den exakten Weg zeigen, solche Systeme sind ja nicht linear und erfordern deshalb ein besonderes und methodisches Vorgehen.
Nach Kürzen (!) der Gleichungen (wozu denn überall die 6er) - verstehe sowieso nicht, warum dies so oft vergessen wird, lieber kompliziert als einfach Big Laugh

, ja? - ist

$\begin{eqnarray*} (1) \ x^2 + 2xy = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \ x^2 + 2y = 2 \end{eqnarray*}$
-------------------------------
$\begin{eqnarray*} (1) \ x(x+2y) = 0 \end{eqnarray*}$

Fallunterscheidung (Satz vom Nullprodukt!):

$\begin{eqnarray*} 1a) \ x = 0 \ \to \ (2) \ y = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1b) \ x = -2y \ \to \ (2) \ 2y^2 + y - 1 = 0 \ .. \text{ Gemischt quadratische Gleichung!} \end{eqnarray*}$

Löse diese jetzt nach y auf und setze die $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ - Werte in die Gleichung $\begin{eqnarray*} x = -2y \end{eqnarray*}$ , NICHT in die Ausgangsgleichungen (!), ein.
------------------
Die geometrische Deutung:
Es handelt sich um die Schnittpunkte einer nach unten geöffneten Parabel und einer in ihre Asymptoten zerfallenden Hyperbel.

Nachtrag:
Geht man den Weg über das Additionsverfahren (Subtraktion der beiden Ausgangsgleichungen), so gilt

$\begin{eqnarray*} y = \frac 1 {1-x} \ x \neq 1 \ \ \text{und (mit Gl. 1) } x^2 - x - 2 = 0 \ \text{mit denselben Loesungspaaren; Kurve violett mit rot} \end{eqnarray*}$

mY+

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