Mehrdimensionale Analysis - Gleichungen

17.09.2017, 20:04	Olomuni	Auf diesen Beitrag antworten »
Mehrdimensionale Analysis - Gleichungen Hallo Leute, folgende Aufgabe beschäftigt mich und ich würde gerne wissen, ob ich mit meinem Ansatz richtig liege. Gegeben ist die Funktion f(x,y)=3ax+6xy+by+8 An der Stelle F(1;-1) nimmt die Funktion den Wert 2 an. Außerdem ist bekannt, dass die Steigung y' in diesem Punkt 0,5 beträgt. Bestimmen Sie a und b! Ich bin folgendermaßen vorgegangen: Ich habe die Funktion erstmal nach y abgeleitet und komme auf 6x+b Daraus ergeben sich nun durch Einsetzen der gegebenen Werte zwei Gleichungen: I. 3a1+61+(-1)+b(-1)+8=2 II. 6*1+b=0,5 Auflösen dieser Gleichung ergibt: a= -11/6 und b= -11/2 Allerdings scheinen mir die Werte recht krumm, was untypisch für meinen Prof ist. Deshalb hier mal die Nachfrage
17.09.2017, 21:34	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Gleichung (1) hast du einen Schreibfehler [+ 61(-1) + ..], so ergibt diese 3a - b = 0 bzw. b = 3a Die Steigung ist NICHT f_y alleine, sondern - wenn die Richtung nicht angegeben ist (--> Richtungsableitung) - jene in Richtung des stärksten Gefälles ... mY+
17.09.2017, 22:35	Olomuni	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm... Da weiß ich jetzt leider nicht weiter. Brauche ich noch eine dritte Gleichung? Kann ja eigentlich nicht sein, weil ich dann drei Gleichungen und zwei Unbekannte habe. Stehe da etwas auf dem Schlauch
17.09.2017, 23:21	Olomuni	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe mal versucht, irgendwie die Ableitung nach x einzubauen, aber da kommt nicht viel Sinnvolles bei raus
18.09.2017, 00:02	ML_	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionale Analysis - Gleichungen Hallo, Deine Aufgabenstellung ist ein wenig unklar. Was ist denn mit der "Steigung" gemeint? Ich bin einmal davon ausgegangen, dass damit der Betrag des Gradienten gemeint ist. Dann wäre der Ansatz folgendermaßen: geg: $\begin{eqnarray} f(x,y)=3ax+6xy+by+8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(1,-1)=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Bigg{\|} \nabla f\|_{(1,-1)} \Bigg{\|}=0.5 \end{eqnarray}$ ges: a,b Lsg: $\begin{eqnarray} f(1,-1)=3a-6-b+8=2 \Leftrightarrow b=3a \end{eqnarray}$ () $\begin{eqnarray} \nabla f = (3a+6y) \cdot \vec e_x + (6x + b) \cdot \vec e_y \end{eqnarray}$ In die letzte Gleichung wäre jetzt der Punkt (1,-1) einzusetzen, anschließend der Betrag zu bilden und dann die Beziehung () einzusetzen. Viele Grüße Michael
18.09.2017, 00:39	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@ML_ So wäre vorzugehen, wenn es um die Richtungsableitung in Richtung des Gradienten ginge. Und genau das ist hier nicht klar und dürfte auch nicht so gemeint sein.. Denn das würde überdies auf eine ungemütliche quadratische Gleichung mit irrationalen Lösungen führen. In der Angabe steht y'(1;-1) = ... , damit wäre wahrscheinlich eher $\begin{eqnarray} -\frac{\partial y}{\partial x} = -\frac {f_x} {f_y} \end{eqnarray}$ einzusetzen, somit kommt als 2. Gleichung: $\begin{eqnarray} (2) \ -\frac {3a - 6}{6+b} = \frac 1 2 \end{eqnarray}$ mY+
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