Jakobimatrix und Diagonalmatrix

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Wunderkind89 Auf diesen Beitrag antworten »
Jakobimatrix und Diagonalmatrix
Hallo liebe Leute, ich hätte da paar Fragen zu Jakobimatrix und zu Diagonalmatrix:

1) Meiner Ansicht nach kann ich bei jeder quadratischen Matrix eine Jakobimatrix in Normalform aufstellen

2) Wenn die geometrische Vielfachheit ungleich der algebraischen Vielfachheit ist bei einer quadratischen Matrix, dann kann ich keine Diagonalmatrix aufstellen, wohl aber eine Jakobimatrix in Normalform?

3) Wir haben das in der Vorlesung so gehandhabt:
T^-1*A*T=D, wobei D steht für Diagonalmatrix und
T^-1*A*T=J, wobei J steht für Jakobimatrix.

D und J werden also gleich berechnet, d.h. D=J!?

In Jakobimatrix kann ich die Eigenwerte ablesen, sowie die algebraische und geometrische Vielfachheit, aber auch in der Diagonalmatrix?

Worin besteht nun der Unterschied zwischen D und J, weil ich hatte eine Aufgabe, wo es kein D gab, dafür aber J, jedoch sind die für mich ein und dasselbe.


Kann mich da einer etwas aufklären?

Liebe Grüße
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Diagonalmatrix enthält nur Einträge in der Diagonalen, die Jordanmatrix auch in der ersten Diagonalen oberhalb der Hauptdiagonalen (Ich glaube Nebendiagonale ist der korrekte Ausdruck).

Wenn eine Matrix diagonalisierbar ist, entspricht die Jordanmatrix der Diagonalmatrix. Ist sie es nicht, dann gibt es nur eine Jordanmatrix.

Beispiel: f(x,y)=(x+y,y) besitzt den Eigenwert 1 mit einfacher geometrischer Vielfachheit. Die Jordanmatrix hat also die Gestalt

Die von Dir erwähnte Jakobimatrix ist etwas völlig anderes, nämlich die Matrix, welche die partiellen Ableitungen enthält. Sie hat mit der Jordanmatrix oder Diagonalisierbarkeit von Matrizen aber nichts zu tun.

EDIT: Latextag der Matrix korrigiert.
Wunderkind89 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! Ja, ich meinte die Jordan Matrix.
Halten wir mal so fest:

Matrix diagonalisierbar: J = D, wobei die Nebendiagonale von J nullen als Einträge hat.

Matrix nicht diagonalisierbar: Es gibt kein D und die Nebendiagonale von J hat min. eine 1 und nullen als Einträge.

Liebe Grüße
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jakobimatrix und Diagonalmatrix
Zitat:
Original von Wunderkind89
3) Wir haben das in der Vorlesung so gehandhabt:
T^-1*A*T=D, wobei D steht für Diagonalmatrix und
T^-1*A*T=J, wobei J steht für Jakobimatrix.

D und J werden also gleich berechnet, d.h. D=J!?

Für mich ist das eher ein Beispiel, wo der Blick nur auf mathematische Formeln gerichtet ist, aber nicht auf das sprachliche Drumherum. Mit Sicherheit hat es in der Vorlesung so geheißen:

Wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sind, dann gibt es eine Transformationsmatrix T, so daß T^-1*A*T eine Diagonalmatrix bzw. eine Jordan-Matrix ist. Das heißt nicht, daß daraus D=J gilt. Im Detail handelt es sich eben um zwei unterschiedliche Aussagen, die unter gewissen Bedingungen gelten.
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