Konvexe Hülle eines direkten Produktes

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Roland8 Auf diesen Beitrag antworten »
Konvexe Hülle eines direkten Produktes
Guten Tag,
ich weiß, dass die konvexe Hülle einer Minkowski Summe gleich der Minkowski Summe der konvexen Hüllen ist. Gibt es dazu ein Analogon für direkte Produkt/Kreuzprodukte?

Die Suche hat mich sowohl hier/als auch bei Google nicht weitergebracht.
Benötigt es eventuell gewissen Anforderungen an die beteiligten Mengen?

Hoffe jemand kann mir da weiterhelfen.

Viele Grüße.
Roland8 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das mal versucht zu beweisen. Für zwei Mengen A und B (im R^n) ist sicher



Mit der Definition der konvexen Hülle und dem Wissen, dass direkte Produkte konvexer Mengen wieder konvex sind folgt ja:



Bei der umgekehrten Inklusion tue ich mich schwer. Gilt die immer? Hat jemand vielleicht ein Gegenbeispiel?

Viele Grüße,
Roland.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die Inklusion ist echt, d.h. die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Dafür reicht es und zu betrachten.
Roland8 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch



und

(die Strecke zwischen den beiden Punkten (0,2) und (1,2)).

Oder irre ich mich da?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Da hatte ich einen Denkfehler, entschuldige. Ich editiere gleich ein Gegenbeispiel rein. (Ich bin recht sicher es ist falsch).

Edit: Ich denke wenn eine Menge eindimensional ist, stimmt es. Für konvexe Mengen hast du es bereits gezeigt. Also . Aka die obere Hälfte der . Die konvexe Hülle ist offenbar die obere Hälfte des Einheitsballes, und das enthält Punkte der Form .

Man kann zeigen, dass (ausser) den Punkten kein Element in ist.
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