Gauss-Elimination, unendlich viele oder keine Lösung

20.09.2017, 14:55

el_physico

Gauss-Elimination, unendlich viele oder keine Lösung

Hallo zusammen

Folgende Fragestellung:

$\begin{eqnarray*} x_{1} +2x_{2}+3x_{3} = 5;<br /> x_{1} +3x_{2} = 9;<br /> 2x_{1} +4x_{2}+a = b \end{eqnarray*}$

a) Für welche Werte a und b hat das System unendlichviele Lösungen
b) Für welche Werte a und b hat das System keine Lösung?

Für b hätte ich gesagt wenn $\begin{eqnarray*} a = 6x_{3} und b = 10 \end{eqnarray*}$ ist.

Bei a weiss ich nicht wie ich vorgehen soll. Danke für eure Hilfe.

Grüsse
Physico

20.09.2017, 15:09

HAL 9000

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Seltsam, dass da in der letzten Zeile $\begin{align*} 2x_{1} +4x_{2}+a = b \end{align*}$ steht, das entspricht ja $\begin{align*} 2x_{1} +4x_{2} = b-a \end{align*}$ , womit es dann nicht viel Sinn macht, zwei Parameter $\begin{align*} a,b \end{align*}$ zu diskutieren statt nur einen $\begin{align*} c:=b-a \end{align*}$ . unglücklich

Kann es sein, dass da eigentlich $\begin{align*} 2x_{1} +4x_{2}+a{\color{red}x_{3}} = b \end{align*}$ stehen sollte? verwirrt

20.09.2017, 15:18

Dopap

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so wie es da steht gibt es immer eine Lösung verwirrt

edit: siehe oben

21.09.2017, 11:52

el_physico

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danke für die Rückmeldung. Ich habe nachgeschaut. es steht wirklich so da wie ich es geschrieben habe.

Gibt es denn nichts was man für a und b einsetzen kann, damit es keine bzw. unendlich viele Lösungen gibt?

21.09.2017, 13:08

HAL 9000

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Nein, nichts: Das entstehende GLS

$\begin{align*} x_{1} +2x_{2}+3x_{3} &= 5<br /> x_{1} +3x_{2} &= 9<br /> 2x_{1} +4x_{2} &= b-a \end{align*}$

hat eine von $\begin{align*} a,b \end{align*}$ unabhängige Koeffizientendeterminante ungleich Null, und damit eine eindeutige Lösung, ganz egal wie groß a,b sind.

Ich tippe nach wie vor auf den Schreibfehler " $\begin{align*} x_3 \end{align*}$ vergessen".

21.09.2017, 14:22

el_physico

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was wäre denn wenn a = b ist und die 3. Zeile somit = 0?

ich frage mal nach ob es sich um einen Schreibfehler handelt.

21.09.2017, 14:41

el_physico

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ok, ihr hattet recht ^^
Es ist also $\begin{eqnarray*} ax_{3} \end{eqnarray*}$

wie soll ich denn jetzt weiter vorgehen?

21.09.2017, 15:30

HAL 9000

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Naja, Gaußelimination bis zur Dreiecksgestalt. Ich entnehme der Zeile

Zitat:

Original von el_physico
Für b hätte ich gesagt wenn $\begin{eqnarray*} a = 6x_{3} und b = 10 \end{eqnarray*}$ ist.

vage die Information, dass du da durchaus bereits was vorliegen hast - also raus damit! Augenzwinkern

P.S.: Warum nur muss es so oft so laufen:

Zitat:

Original von HAL 9000
Kann es sein, dass da eigentlich $\begin{align*} 2x_{1} +4x_{2}+a{\color{red}x_{3}} = b \end{align*}$ stehen sollte? verwirrt

Zitat:

Original von el_physico
Ich habe nachgeschaut. es steht wirklich so da wie ich es geschrieben habe.

Zitat:

Original von HAL 9000
Ich tippe nach wie vor auf den Schreibfehler " $\begin{align*} x_3 \end{align*}$ vergessen".

Zitat:

Original von el_physico
ok, ihr hattet recht ^^
Es ist also $\begin{eqnarray*} ax_{3} \end{eqnarray*}$

Was für eine Zeitverschwendung. unglücklich

21.09.2017, 15:55

Dopap

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und ich schrieb:

Zitat:

Original von Dopap
so wie es da steht gibt es immer eine Lösung verwirrt

aber du willst es ja nicht glauben !

22.09.2017, 16:51

el_physico

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@ hal 3000

Ich bin nur davon ausgegangen, da so die 3 Zeile = 2mal die 1. Zeile wäre.

Also wenn ich das in die Dreiecksgestalt bringe (damit meinst du, dass ich in der 2. Zeile bei x1 eine 0 habe und in der 3. Zeile bei x1 und x2 eine 0 habe, richtig?).

wenn jetzt a und b 0 wäre, dann kann ich die ganze 3. Zeile eliminieren und es würde keine Lösung geben. Stimmt das?

In welchem Fall wären es denn unendlich viele Lösungen verwirrt

22.09.2017, 17:14

Dopap

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wenn a=6 und b=10 , das hast du schon geschrieben.

Für a=6 und b ungleich 10 gibt es keine Lösung.

24.09.2017, 17:32

el_physico

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danke!

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