Bruch - und Logarithmusgleichung lösen

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Richbert Auf diesen Beitrag antworten »
Bruch - und Logarithmusgleichung lösen
Meine Frage:
Guten Tag,

ich bin mir bei 2 Aufgaben nicht ganz sicher, ob man das so machen kann.

Aufabe 1 :
Lösen Sie die Gleichung bzgl. x. Welche Werte darf x nicht annehmen.
b/(x ? a)= 2a + b/(x + a)


Kann ich den Bruch so auflösen oder hätte ich bspweise den Hauptnenner der Brüche bilden müssen?
Und ist das Ergebnis so richtig aufgeschrieben oder muss ich noch nach a differenzieren wegen dem ausklammern?


Aufgabe 2:

Gesucht sind alle reellen Zahlen x, die die folgende Gleichung erfüllen. ¨
Dabei ist lg der Logarithmus zur Basis 10 (D.h. lg x = log10 x).

2 lg ((x + 1)²) = 2 + 3 lg(x + 1)

bei dieser Aufgabe bin ich mir beim umstellen auch nicht sicher.


Meine Ideen:
zu Aufgabe 1:

Ich hoffe es ist verständlich aufgeschrieben ^^.

D element R außer [-a ;a]

b/(x?a)= 2a + b/(x + a) | - b/(x+a)

b/(x-a) - b/(x+a) = 2a | Nenner multiplizieren

b*(x+a) - b * (x-a)/ (x-a) * (x+a) = 2a | ausmultiplizeren + zsmfassen

2 ab/(x-a) * (x+a) = 2a | Nenner multiplizieren und zsmfassen

ax² = a³ + ab | a ausklammern

x² = a * (a² - b)

x = +- Wurzel (a² + b)


L = [+- Wurzel (a² + b)]

zu Aufgabe 2:

D = (R und x > 1)

2 lg ((x + 1)²) = 2 + 3 lg(x + 1) | Logarithmusgesetz

4 lg (x+1) = 2 + 3 lg (x+1) | - 3 lg (x+1)

lg (x+1) = 2

x = 99

L = ( x element R | x > -1)

In der Aufgabe ist ja nach allen x gefragt. Wäre das dann die richtige Lösungsmenge oder die 99?



Vielen Dank schonmal smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

1)
Erkäre bitte zuerst die Bedeutung des Fragezeichens. Ist es ein Minus, dann stimmt das Resultat.
Allerdings hast du noch den Fall a = 0 zu behandeln, wenn dies in der Aufgabenstellung nicht explizit ausgeschlossen ist..

2)
Warum soll es ausser 99 noch weitere Zahlen geben, die die Gleichung erfüllen?

mY+
 
 
Ricket Auf diesen Beitrag antworten »

1.) das ? ist ein - (Minus)

2.) Ist die Gleichung denn so richtig umgestellt?

Willkommen im Matheboard!
Du bist hier zweimal angemeldet, der User Richbert wird daher demnächst gelöscht.
Viele Grüße
Steffen
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Sh. mein EDIT!
(1 passt so weit, was passiert allerdings bei a = 0?)
Und noch etwas: Bestimme die Def. Menge der Gleichung! Nenner ungleich Null!

Bei 2) liegt KEINE Ungleichung vor, also ist L = ...
Dein L ist in Wirklichkeit D, also die Definitionsmenge der Gleichung, es gilt tatsächlich x > -1

mY+
Ricket Auf diesen Beitrag antworten »

1. )bei a = 0 wäre x element R außer 0 oder?

2.) L = 99 ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, beides stimmt. Schreibe besser L = {99}

Also halte immer Definitionsmenge und Lösungsmenge auseinander.
Die Definitionsmenge immer VOR der Lösung der Gleichung bestimmen (Nenner nicht Null, Logarithmand/Radikand >0, usw.)

mY+
Ricket Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar.
Danke für die schnelle Antwort smile .

Beitrag kann geschlossen werden.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wir schließen hier nur aus besonderen Gründen.
Es genügt dein positives Feedback, dass es für dich passt. smile
Es könnten noch andere User etwas dazuschreiben.

Gr
mY+
Ricket Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut, da mir gerade noch etwas eingefallen ist Big Laugh .

bei 1.) habe ich ja mit (x-a) * (x+a) sozusagen den Hauptnenner gebildet, bevor ich den Bruch aufgelöst hab.
Wie kommt es, dass ich die 2a, die auf der anderen Seite der Geichung stehen, nicht auch direkt auf den Hauptnenner gebracht werden müssen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

So lange du den (Haupt-)Nenner stehen lässt (!), kann rechts 2a so stehen bleiben.
Nun gibt es 2 Möglichkeiten:
1) Du bringst rechts die 2a ebenfalls auf den Hauptnenner (HN), wie du es gemeint hast und lässt diesen dann auf beiden Seiten im nächsten Schritt weg*.
2) Du multiplizierst die Gleichung sofort mit dem HN, dann taucht dieser klarerweise rechts neben dem 2a auf.

(*) Dies entspricht der Multiplikation der ganzen Gleichung mit dem HN

Beides ist gleichwertig, wobei ich die unmittelbare Multiplikation mit dem HN eleganter finde.

So klar?

mY+
Ricket Auf diesen Beitrag antworten »

Ja danke.
Alles echt super in einfachen Worten erklärt smile
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