Beweis Austauschsatz

21.09.2017, 16:14

MathNoob28

Beweis Austauschsatz

Hallo folgende Aussage gilt es zu beweisen.
Es sei $\begin{eqnarray*} v_1, v_2, . . . , v_n \end{eqnarray*}$ sei eine Basis von V . Ist zudem
$\begin{eqnarray*} w_1, w_2, . . . , w_r \end{eqnarray*}$ ein in V linear unabhängiges System, so können wir durch Umnummerierung
der $\begin{eqnarray*} v_1, v_2, . . . , v_n \end{eqnarray*}$ erreichen, dass durch Austausch von $\begin{eqnarray*} w_1, w_2, . . . , w_r \end{eqnarray*}$
mit den ersten r Elementen der Basis $\begin{eqnarray*} v_1, v_2, . . . , v_r \end{eqnarray*}$ eine neue Basis
$\begin{eqnarray*} w_1, w_2, . . . , w_r, v_{r+1}, . . . , v_n \end{eqnarray*}$ von V entsteht. Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} r \leq n \end{eqnarray*}$ .

Soweit die Aufgabenstellung. Als Hinweis ist gegeben, dass man für den Beweis vollständige Induktion benutzen soll?
Wie kommt man darauf und 2. wie soll man das dann genau machen. Vollständige Induktion habe ich bis jetzt nur bei Gaußsche Summenformel z.B kennengelernt?

21.09.2017, 16:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von MathNoob28
Wie kommt man darauf

Weil es zweckmäßig ist. (Welcher Zwang treibt die Leute eigentlich immer an diese Frage zu stellen? Als ob da jemals eine brauchbare Antwort drauf gekommen wäre.)

Weise die Aussage durch Vollständige Induktion über $\begin{align*} r \end{align*}$ nach, d.h. die Anzahl der auszutauschenden Vektoren.

Im Induktionsanfang r=0 ist überhaupt nichts nachzuweisen, weil nix ausgetauscht wird.

Im Induktionsschritt $\begin{align*} r\to r+1 \end{align*}$ : nutzen wir die Induktionsvoraussetzung, dass wir $\begin{align*} w_1,\ldots,w_r \end{align*}$ so austauschen können, dass (nach evtl. Umnummerierung) $\begin{align*} v_{r+1},\ldots,v_n \end{align*}$ über bleiben und gemeinsam mit $\begin{align*} w_1,\ldots,w_r \end{align*}$ eine Basis bilden. Nachzuweisen wäre nun nur noch, dass man $\begin{align*} w_{r+1} \end{align*}$ gegen einen der Vektoren $\begin{align*} v_{r+1},\ldots,v_n \end{align*}$ austauschen kann.

Offenkundig besitzt nun $\begin{align*} w_{r+1} \end{align*}$ eine eindeutige Darstellung in dieser Basis, d.h.

$\begin{align*} w_{r+1} = a_1w_1 + \ldots + a_rw_r + a_{r+1}v_{r+1}+\ldots + a_nv_n \end{align*}$ .

Wie könnte es nun weiter gehen?

21.09.2017, 21:37

MathNoob28

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Ok Danke für die Hilfestellung. Was ich nicht genau verstehe ist, was diese Umnummerierung genau bedeuten soll?

Wie könnte es nun weiter gehen?

Also ich würde sagen die a_r+1 ....a_n können nicht 0 sein, da sonst die w_1,..., w_r linear abhängig wären. Insbesonder ist dann a_r+1 nicht 0, deshalb kann man v_r+1 mit w_r+1 austauschen?

22.09.2017, 07:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von MathNoob28
Also ich würde sagen die a_r+1 ....a_n können nicht 0 sein, da sonst die w_1,..., w_r linear abhängig wären. Insbesonder ist dann a_r+1 nicht 0, deshalb kann man v_r+1 mit w_r+1 austauschen?

Teilweise richtig: $\begin{align*} w_1,w_2,\ldots,w_r,w_{r+1} \end{align*}$ sind linear abhängig, sofern $\begin{align*} a_{r+1}=\ldots=a_n=0 \end{align*}$ ist, letzteres kann also nicht zutreffen.

Das spricht aber nicht dagegen, dass einzelne oder mehrere der $\begin{align*} a_k \end{align*}$ gleich Null sind - es darf lediglich nicht auf alle zutreffen! Insofern ist deine Folgerung $\begin{align*} a_{r+1}\neq 0 \end{align*}$ falsch.

22.09.2017, 12:11

MathNoob28

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Wie geht jetzt die Schlussfolge weiter?
Ich verstehe nicht ganz was diese Umnummerieren bedeuten soll? unglücklich

22.09.2017, 12:45

HAL 9000

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Wir wissen, dass nicht alle $\begin{align*} a_k=0 \end{align*}$ sind für $\begin{align*} r+1\leq k\leq n \end{align*}$ , anders formuliert:

Es gibt einen Index $\begin{align*} m\in\{r+1,\ldots,n\} \end{align*}$ mit $\begin{align*} a_m\neq 0 \end{align*}$ . Und jetzt tauschst du $\begin{align*} w_{r+1} \end{align*}$ eben nicht gegen $\begin{align*} v_{r+1} \end{align*}$ , sondern gegen $\begin{align*} v_m \end{align*}$ . D.h., mit "Umnummerieren" ist gemeint, dass $\begin{align*} v_{r+1} \end{align*}$ und $\begin{align*} v_m \end{align*}$ quasi die Plätze tauschen vor (!) der Austauschoperation mit $\begin{align*} w_{r+1} \end{align*}$ .

Vielleicht solltest du das ganze Austauschprozedere mal manuell durchexerzieren an einem ganz primitiven Beispiel, z.B. folgendes für $\begin{align*} n=3 \end{align*}$ und nacheinander $\begin{align*} r=1,2,3 \end{align*}$ :

$\begin{align*} v_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},v_2 = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},v_3 = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},w_1 = \begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix},w_2 = \begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix},w_3 = \begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix} \end{align*}$

Damit über die (vielleicht zu trockenen) Formeln hinaus ein Verständnis entwickelst, was da wirklich passiert.

22.09.2017, 13:28

MathNoob28

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Danke für deine Hilfe. Also zu deinem Beispiel. Wir haben zwei linear unabhängige Systeme. Wir wollen jetzt die w vektoren mit dem vs austauschen. Bevor dem Tauschprozess wird umnummeriert. D.h v1 wird zu v3, v2 zu v1, v3 zu v2. Dann ich die ws mit den vs tauschen. So richtig?

22.09.2017, 14:16

HAL 9000

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Ich hatte es so gemeint, dass es sich durch diese im Induktionsschritt oben erwähnte Rechnung ergibt! Also startend bei $\begin{align*} r=1 \end{align*}$ ergibt sich die Darstellung

$\begin{align*} w_1 = a_1v_1 + a_2v_2 + a_3v_3 \end{align*}$ mit $\begin{align*} a_1=0,a_2=0,a_3=2 \end{align*}$ .

Getauscht werden kann nun $\begin{align*} w_1 \end{align*}$ mit alle $\begin{align*} v_m \end{align*}$ , für die $\begin{align*} a_m\neq 0 \end{align*}$ . Dafür gibt es hier aber nur eine Möglichkeit (i.a. werden es mehr sein), nämlich $\begin{align*} m=3 \end{align*}$ . Also wird $\begin{align*} w_1 \end{align*}$ gegen $\begin{align*} v_1'=v_3 \end{align*}$ getauscht, die neue Basis ist $\begin{align*} (w_1,v_2,v_3') \end{align*}$ mit durch den Tausch $\begin{align*} 1\leftrightarrow 3 \end{align*}$ "neu" entstandenen $\begin{align*} v_3' = v_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \end{align*}$ . Der Vektor $\begin{align*} v_2 \end{align*}$ bleibt erhalten, d.h., $\begin{align*} v_2'=v_2 \end{align*}$ .

Im Schritt $\begin{align*} r=2 \end{align*}$ ist

$\begin{align*} w_2 = a_1w_1 + a_2v_2' + a_3v_3' \end{align*}$ mit $\begin{align*} a_1=0,a_2=0,a_3=3 \end{align*}$ .

Diesmal kann $\begin{align*} w_2 \end{align*}$ mit $\begin{align*} v_3' \end{align*}$ getauscht werden, es entsteht durch Tausch $\begin{align*} 2\leftrightarrow 3 \end{align*}$ schließlich die Basis $\begin{align*} (w_1,w_2,v_3'') \end{align*}$ mit $\begin{align*} v_3'' = v_2' = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \end{align*}$ . Schlussendlich haben wir

$\begin{align*} w_3 = a_1w_1 + a_2w_2 + a_3v_3'' \end{align*}$ mit $\begin{align*} a_1=0,a_2=0,a_3=4 \end{align*}$ ,

und es wird $\begin{align*} w_3 \end{align*}$ gegen $\begin{align*} v_3'' \end{align*}$ ausgetauscht - klar, im letzten Schritt gibt es nur noch diese eine Möglichkeit.

22.09.2017, 14:27

MathNoob28

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Aso meinst du das. Danke für deine ausführliche Erklärung. Jetzt verstehe ich was genau gemeint ist und wie der Prozess abläuft Freude

Gibts beim Beweis noch was zu machen?

22.09.2017, 14:40

HAL 9000

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An sich nicht, mit dem Tausch von $\begin{align*} w_{r+1} \end{align*}$ mit dem erwähnten $\begin{align*} v_m \end{align*}$ ist der Induktionsschritt $\begin{align*} r\to r+1 \end{align*}$ komplettiert, denn das nach dem Austausch erhaltene $\begin{align*} \{w_1,\ldots,w_{r+1},v_{r+1},\ldots,v_n\} \setminus \{v_m\} \end{align*}$ ist eine Basis von $\begin{align*} V \end{align*}$ .

22.09.2017, 14:41

MathNoob28

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Besten Dank HAL 9000. Tut gut so einen Beweis komplett zu verstehen. Freude

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