Additionstheorem sin und cos

22.09.2017, 13:59

kai123

Additionstheorem sin und cos

Guten Tag,
ich soll die Additionstheoreme für sin und cos herleiten. Das herleiten der "normalen" Theoreme ist kein Problem, ich soll es aber für + und - machen.

Aufgabe:
Zeigen Sie das gilt:

$\begin{eqnarray*} sin(x\pm y)=sin(x)*cos(y)\pm sin(y)*cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(x\pm y)=cos(x)*cos(y)\mp sin(x)*sin(y) \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:
Für die "normalen" Additionstheoreme ist das kein Problem.

$\begin{eqnarray*} e^{ix+iy}=(cos(x)*i+sin(x))*(cos(y)*i+sin(y)) \end{eqnarray*}$
Ausmultiplizieren
$\begin{eqnarray*} cos(y)cos(x)+isin(y)cos(x)+isin(x)cos(y)-sin(x)sin(y) \end{eqnarray*}$
Nach imaginär und reell sortieren.
$\begin{eqnarray*} cos(y)cos(x)-sin(x)sin(y)+i(sin(y)cos(x)+sin(x)cos(y)) \end{eqnarray*}$
So ergeben sich das Additiontheorem für sin und cos.
$\begin{eqnarray*} sin(x+ y)=sin(x)*cos(y)+ sin(y)*cos(x)<br /> cos(x+ y)=cos(x)*cos(y)- sin(x)*sin(y) \end{eqnarray*}$

Meine Frage
Kann ich das + einfach durch + und - ersetzen ? Oder erfordert das minus eine eigene Herleitung ?
$\begin{eqnarray*} sin(x\pm y)=sin(x)*cos(y)\pm sin(y)*cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(x\pm y)=cos(x)*cos(y)\mp sin(x)*sin(y) \end{eqnarray*}$

Gruß Kai

22.09.2017, 14:24

mYthos

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Du kannst zwar (+y) durch (-y) ersetzen, hast aber dann zu kalkulieren, dass

$\begin{eqnarray*} \sin(-y) = -\sin y \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \cos(-y) = \cos y \end{eqnarray*}$

Das ist alles.

mY+

22.09.2017, 14:34

HAL 9000

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@kai123

Du solltest ein wenig weiter ausholen und dazu sagen, auf welcher Basis du die Additionstheoreme zeigen willst, d.h.,

a) ausgehend von der geometrischen Definition,

oder

b) ausgehend von der analytischen Definition (per Reihe)

von Sinus/Kosinus. Es sieht mir bei dir nach b) aus (die Variante gemäß a) würde total anders laufen!). Was du anscheinend schon benutzen darfst ist

1) $\begin{align*} e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \end{align*}$ für $\begin{align*} x\in\mathbb{R} \end{align*}$ , und

2) $\begin{align*} e^{z_1+z_2} = e^{z_1}\cdot e^{z_2} \end{align*}$ für $\begin{align*} z_1,z_2\in\mathbb{R} \end{align*}$ .

Die Frage ist jetzt, sollst du die o.g. Additionstheoreme für beliebige reelle oder sogar beliebige komplexe $\begin{align*} x,y \end{align*}$ beweisen?

Zitat:

Original von kai123
$\begin{eqnarray*} e^{ix+iy}=(cos(x)*i+sin(x))*(cos(y)*i+sin(y)) \end{eqnarray*}$

Das ist falsch, vermutlich meinst du stattdessen $\begin{align*} e^{ix+iy} = \left(\cos(x)+i\cdot \sin(x)\right)\cdot \left(\cos(y)+i\cdot \sin(y)\right) \end{align*}$ .

22.09.2017, 16:00

kai123

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Danke für die Antworten.
@ Mythos, stimmt Punkt- und Achsensymmetrie da war ja was.

@ HAL9000
Tut mir leid das habe ich total übersehen, "für sämtliche reelle x und y unter Verwendung der Euler-Formel."
Was ich auch übersehen habe, ist das + und * beim Sinus und Kosinus.
HAL9000 hat natürlich recht. So ist es richtig !
$\begin{eqnarray*} e^{ix+iy} =(cos(x)+i*sin(x))*(cos(y)+i*sin(y)) \end{eqnarray*}$

Gruß Kai

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