Verteilungsfunktion und Erwartungswert

22.09.2017, 19:22

NotSoGenius

Verteilungsfunktion und Erwartungswert

Meine Frage:
Hallo Wink

Im Rahmen einer anstehenden Klausur bereite ich mich gerade durch Berechnen verschiedener Aufgaben vor. In der letzten Vorlesung wurde gerade noch schnell die Verteilungsfunktion durchgenommen und ich habe meine liebe Not, hier und da Dinge zu durchblicken und die Theorie auf die Praxis zu übertragen (was mich hier eindeutig zu meinem Problem führt).

Folgende Aufgabe:
Sei X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} P\{X \leq x\} = F_X(x) =(1-x^{-a})1_{[1,\infty)} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Berechnen Sie den Erwartungswert von X. Für welche Werte von a > 0 ist E(X) endlich?
Berechnen Sie die Varianz von X in dem Fall, dass E(X) endlich ist. Wann ist V ar(X)
endlich?

Meine Ideen:
Nun war meine Rechnung diese.

$\begin{eqnarray*} E(X)=\int_{1}^\infty x \cdot f(x) \,dx= \int_{1}^\infty x \cdot \alpha \cdot x^{-\alpha -1}\, dx= \alpha \int_{1}^\infty x \cdot x^{-\alpha -1}\, dx=\alpha \int_{1}^\infty x^{-\alpha}\, dx= \alpha [\frac{1}{-\alpha+1}x^{-\alpha+1}]_{1}^\infty=\frac{\alpha}{\alpha-1}=1 \end{eqnarray*}$ , damit ist der Erwartungswert E(X) nur für a > 1 endlich. Für a < 1 divergiert der Ausdruck, während für a=1 der Ausdruck undefiniert wäre.

Leider ist in der Musterlösung nicht angegeben, für welche a der Erwartungswert endlich ist, allerdings scheint zumindest mein Rechenweg bis hierher zu stimmen.

Für Varianz also:
Grundsätzlich:
$\begin{eqnarray*} Var(X)=E(X^2) - (E(X))^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E(X^2)=\int_{1}^\infty x^2\cdot \alpha \cdot x^{-\alpha-1}\,\,dx=\alpha \int_1^\infty x^{-\alpha+1}\,\,dx=[\frac{\alpha x^{-\alpha+2}}{-\alpha+2}]_1^\infty=\frac{\alpha}{-\alpha+2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (E(X))^2=(\alpha \int_1^\infty x^{-\alpha})^2\,\,dx=( [\frac{\alpha x^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}]_1^\infty)^2=(\frac{\alpha}{-\alpha+1})^2=\frac{\alpha^2}{(-\alpha+1)^2} \end{eqnarray*}$

Hier macht aber in beiden Fällen noch jeweils bevor die Stammfunktion gebildet wird, eine Fallunterscheidung getan. Für die Berechnung von $\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$ würde diese die Grenzen $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a \neq 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [1, a) \end{eqnarray*}$ für a=2 unterscheiden und für letztere Grenze die Stammfunktion 2log(x) herausbekommen. Sinn macht das ja, da im Falle a=2 unsere Stammfunktion undefiniert wäre. Aber wie kriegen wir dabei als Stammfunktion 2log(x) heraus? verwirrt

Ich habe das Skript schon hoch und runter gelesen, aber die erwartete Erleuchtung leider nicht erlangt. Ich wäre wirklich dankbar für jegliche Hilfe! Gott

22.09.2017, 19:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von NotSoGenius
$\begin{eqnarray*} E(X^2)=\int_{1}^\infty x^2\cdot \alpha \cdot x^{-\alpha-1}\,\,dx=\alpha \int_1^\infty x^{-\alpha+1}\,\,dx=[\frac{\alpha x^{-\alpha+2}}{-\alpha+2}]_1^\infty=\frac{\alpha}{-\alpha+2} \end{eqnarray*}$

Vorzeichenfehler: Das Ergebnis ist $\begin{align*} E(X^2) = -\frac{\alpha}{-\alpha+2} = \frac{\alpha}{\alpha-2} \end{align*}$ .

Was die andere Frage betrifft: Für $\begin{align*} \alpha=2 \end{align*}$ ist die Rechnung bis zum Integral dieselbe, nur die Integralauswertung läuft anders:

$\begin{align*} E(X^2) = 2\int\limits_1^\infty x^{-1} ~ \dd x = \left[ 2\ln(x) \right]_1^\infty = \infty \end{align*}$ .

Mich wundert nur, dass dir das erst jetzt bei der Varianz auffällt, denn beim Erwartungswert oben stand dieses Problem schon so ähnlich an, dort eben nur bei $\begin{align*} \alpha=1 \end{align*}$ . Insofern ist diese Unterscheidung

Zitat:

Original von NotSoGenius
Für a < 1 divergiert der Ausdruck, während für a=1 der Ausdruck undefiniert wäre.

unsinnig, denn auch für $\begin{align*} \alpha=1 \end{align*}$ bekommt man ein bestimmt divergentes Integral, wenn man die richtige (!) Stammfunktion dort verwendet. Augenzwinkern

Resümee: Der Erwartungswert existiert für $\begin{align*} \alpha>1 \end{align*}$ , die Varianz aber nur für $\begin{align*} \alpha>2 \end{align*}$ .

22.09.2017, 20:00

NotSoGenius

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Vielen Dank für die Hilfe! Ich hatte dafür wirklich keinen Blick. Jetzt ist alles um einiges klarer! Gott

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