Exponentialfunktion und Dichte

22.09.2017, 22:27	FaithNoMore	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialfunktion und Dichte Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} f(x) = c_\lambda e^{-x/ \lambda}1_{(1, \infty)}(x) \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \lambda > 0 \end{eqnarray}$ . (Beachten Sie den Indikator des Intervalls $\begin{eqnarray} (1, \infty) \end{eqnarray}$ a) Zeigen Sie, dass f genau dann eine Dichte ist, wenn $\begin{eqnarray} c_\lambda = e^{1/ \lambda}/ \lambda \end{eqnarray}$ . b) Bestimmen Sie den Erwartungswert, die Varianz und den Median einer Zufallsvariablen X mit Dichte f. c) Seien $\begin{eqnarray} X_i, 1 \leq i \leq 100 \end{eqnarray}$ , unabhängige Zufallsvariablen, die alle die Dichte f besitzen. Bestimmen Sie eine (nicht-triviale) untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P\{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \in [1 + 3 \lambda /4, 1+ 5 \lambda /4]\} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich wollte zuerst einmal fragen, ob mein Ansatz zu a) korrekt ist. Und zwar gilt ja für alle $\begin{eqnarray} \lambda > 0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f_\lambda := \frac{1}{\lambda}e^{-x/ \lambda} \cdot 1_{[0, \infty](x)} \end{eqnarray}$ Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} \int_\mathbb{R} f_\lambda (x) dx = \int_0^\infty \frac{1}{\lambda} e^{-x/ \lambda} \,\, dx = -e^{-x/ \lambda} \|_0^{-\infty} = 1 \end{eqnarray}$ . Wenn wir also das gegebene c annehmen, dann ergibt sich ja $\begin{eqnarray} e^{1/ \lambda}/ \lambda \cdot e^{-x/ \lambda}1_{(1, \infty)} = \frac{1}{\lambda} e^{-x+1/ \lambda}1_{(1, \infty)} = \frac{1}{\lambda} e^{-x/ \lambda}1_{(0, \infty)} \end{eqnarray}$ . Kann dies schon einmal so stimmen?
25.09.2017, 12:38	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht meinst du ja das richtige, aber so chaotisch, wie du das darlegst, macht es wenig Sinn. Betrachten wir wie von dir vorgeschlagen $\begin{align} f_{\lambda}(x) := \frac{1}{\lambda} e^{-\frac{x}{\lambda}} \cdot 1_{(0,\infty)}(x) \end{align}$ , dann bekommen wir per Verschiebung $\begin{align} f_{\lambda}(x-1) = \frac{1}{\lambda} e^{-\frac{x-1}{\lambda}} \cdot 1_{(0,\infty)}(x-1) = \frac{1}{\lambda} e^{\frac{1}{\lambda}} \cdot e^{-\frac{x}{\lambda}} \cdot 1_{(1,\infty)}(x) \end{align}$ , was genau der Struktur deines $\begin{align} f(x) \end{align}$ entspricht, sofern man $\begin{align} c_{\lambda} := \frac{1}{\lambda} e^{\frac{1}{\lambda}} \end{align}$ setzt. Mit anderen Worten: Das $\begin{align} f \end{align}$ in der Aufgabenstellung entspricht der Dichte einer "verschobenen" Exponentialverteilung.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »