Differentialgleichung mit gemischter Störfunktion

25.09.2017, 17:18

Sen4622

Differentialgleichung mit gemischter Störfunktion

Meine Frage:
Hallo zusammen smile

Zu lösen ist folgende lineare inhomogene Differentialgelichung 2. Ordnung:
$\begin{eqnarray*} y''-6y'+9y=2e^x+9x-15 \end{eqnarray*}$

Mit den Anfangswerten:
$\begin{eqnarray*} y(0)=\frac{1}{2}, y'(0)=\frac{11}{2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Der homogene Teil ist soweit klar und ich habe:
$\begin{eqnarray*} y_{H}=(ax+b)e^{3x} \end{eqnarray*}$

Probleme habe ich beim imhomogenen Teil. Was ich sehe ist, dass es mehrere Teile als Summe sind. In der Tabelle die ich für die partikulären Lösungen habe steht auch, dass ich die Teile einzeln löse und wieder als Summe zusammen führe.
Also habe ich: (?)
$\begin{eqnarray*} g(x)_{P1}=2e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)_{P2}=9x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)_{P3}=-15 \end{eqnarray*}$

Wo ich mir unsicher bin ist, wie ich die -15 behandeln muss. Ist die ein eigener Teil, oder gehört die zu $\begin{eqnarray*} y_{P2}=9x - 15 \end{eqnarray*}$ dazu? Oder hätte ich die schon vorher bei dem homogenen Teil mit rüber ziehen müssen? Wenn ja wie behandle ich das dann da?

Vielen Dank schon für jede Hilfe!
Gruß,
Sen

25.09.2017, 18:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sen4622
Ist die ein eigener Teil, oder gehört die zu $\begin{eqnarray*} y_{P2}=9x - 15 \end{eqnarray*}$ dazu?

Letzteres, und kann hier mit Ansatz $\begin{eqnarray*} y_P(x) = cx+d \end{eqnarray*}$ gelöst werden.

25.09.2017, 20:20

Sen4622

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RE: Differentialgleichung mit gemischter Störfunktion
Danke für die Antwort HAL!

Okay, dann war die letzte Variante die ich auf dem Papier hatte sogar richtig. Dann heißt das für mich, dass ich aus
$\begin{eqnarray*} g(x)_{P1}=2e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)_{P2}=9x-15 \end{eqnarray*}$
folgende Ansätze mache:
$\begin{eqnarray*} y_{P1}(x)=fe^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{P2}(x)=cx+d \end{eqnarray*}$

Daraus wird
$\begin{eqnarray*} y_P(x)=y_{P1}(x)+y_{P2}(x)=fe^x+cx+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'_P(x)=fe^x+c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y''_P(x)=fe^x \end{eqnarray*}$

Um c, d und f zu bestimmen setze ich also ein:

$\begin{eqnarray*} y''-6y'+9y=2e^x+9x-15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} fe^x-6(fe^x+c)+9(fe^x+cx+d)=2e^x+9x-15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} fe^x-6fe^x-6c+9fe^x+9cx+9d=2e^x+9x-15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4fe^x+9cx-6c+9d=2e^x+9x-15 \end{eqnarray*}$

Und hier hänge ich wieder. Ist im Prinzip kein DGL-Spezifisches Problem mehr. Mich irritiert das $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ beim Auflösen.
Gibt es einen geschickteren Weg als es nacheinander zu c, d und f aufzulösen und es in einen gigantischen Term zu gießen? Bisher waren die Ergebnisse der Aufgaben immer recht hübsch, deswegen dachte ich, dass ich bereits vorher einen Fehler in den Ansätzen hatte. (Da hoffe ich mal auf eine andere Antwort als ein "I'm afraid I can't do that Dave." Augenzwinkern

)

25.09.2017, 21:34

HAL 9000

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Zum einen hättest du die verschiedenen Störfunktionen hier getrennt behandeln können. Aber egal, du hast alles in einen Topf geworfen, geht auch.

Zitat:

Original von Sen4622
$\begin{eqnarray*} 4fe^x+9cx-6c+9d=2e^x+9x-15 \end{eqnarray*}$

Koeffizientenvergleich für $\begin{align*} e^x, x \end{align*}$ und $\begin{align*} 1 \end{align*}$ :

$\begin{align*} 4f&=2<br /> 9c&=9<br /> -6c+9d&=-15 \end{align*}$

27.09.2017, 17:29

Sen4622

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Super, vielen lieben Dank!
Auch der Hinweis, dass ich die Störfunktionen getrennt behandeln kann ist sehr gut.

Für die Nachwelt noch die Ergebnisse, die ich damit erhalten habe:

DGL: $\begin{eqnarray*} y''-6y'+9y=2e^x+9x-15 \end{eqnarray*}$
Anfangswerten: $\begin{eqnarray*} y(0)=\frac{1}{2}, y'(0)=\frac{11}{2} \end{eqnarray*}$

Homogener Teil: $\begin{eqnarray*} y_{H}=(ax+b)e^{3x} \end{eqnarray*}$
Störfunktion: $\begin{eqnarray*} g(x)_{P}=2e^x+9x-15 \end{eqnarray*}$
Zerlegt in:
$\begin{eqnarray*} g(x)_{P1}=2e^x \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} y_{P1}(x)=fe^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)_{P2}=9x-15 \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} y_{P2}(x)=cx+d \end{eqnarray*}$

Ableiten und einsetzen:
$\begin{eqnarray*} y_{P1}(x)=fe^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'_{P1}(x)=fe^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y''_{P1}(x)=fe^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} fe^x-6*fe^x+9*fe^x=2e^x \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} f=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{P2}(x)=cx+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'_{P2}(x)=c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y''_{P2}(x)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0-6*c+9*(cx+d)=9x-15 \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} c=1 & d=-1 \end{eqnarray*}$

Also
$\begin{eqnarray*} y(x)=y_{H}(x)+y_{P1}(x)+y_{P2}(x)=(ax+b)e^{3x}+\frac{1}{2}e^x+x-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'(x)=3(ax+b)e^{3x}+ae^{3x}+\frac{1}{2}e^x+1 \end{eqnarray*}$

Mit den Startwerten:
$\begin{eqnarray*} y(0)=(ax+b)e^{3x}+\frac{1}{2}e^x+x-1=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} b=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'(0)=3(ax+\frac{1}{2})e^{3x}+ae^{3x}+\frac{1}{2}e^x+1=\frac{11}{2} \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} a=\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis lautet also:
$\begin{eqnarray*} y(x)=(\frac{5}{2}x+\frac{1}{2})e^{3x}+\frac{1}{2}e^x+x-1 \end{eqnarray*}$

27.09.2017, 20:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sen4622
$\begin{eqnarray*} y(x)=y_{H}(x)+y_{P1}(x)+y_{P2}(x)=(ax+b)e^{3x}+\frac{1}{2}e^x+x-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'(x)=3(ax+b)e^{3x}+ae^{3x}+\frac{1}{2}e^x+1 \end{eqnarray*}$

Bis hierhin stimmt das erstmal soweit. Aber mit dem $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ einsetzen scheint es zu hapern: Richtig ist

$\begin{align*} y(0)=b-\frac{1}{2} \stackrel{!}{=} \frac{1}{2} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} y'(0)=3b+a+\frac{3}{2} \stackrel{!}{=} \frac{11}{2} \end{align*}$ ,

das ergibt $\begin{align*} b=1 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} a=1 \end{align*}$ .

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